Как найти площадь треугольника в квадрате: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

{2}}\)? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны $ \displaystyle a$ метров и $ \displaystyle b$ метров, то в этом прямоугольнике…

…поместится ровно $ \displaystyle a\cdot b$ квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть $ \displaystyle b$ «слоев», в каждом из которых ровно $ \displaystyle a$ квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером $ \displaystyle a$x$ \displaystyle b$ поместилось $ \displaystyle ab$ квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь.

А если фигура – вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Можно ли узнать, сколько квадратных метров в ней находится? Можно ведь некоторые квадратные метры «порезать», переставить и т.д. ?..

Удивлю тебя – бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению, нарисовать такие фигуры – невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

Но мы такими «расческами» орудовать не будем, а будем рассматривать нормальные фигуры.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать, что площадь фигуры – это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.)

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади».

Формул этих довольно много – математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Содержание

Как найти площадь треугольника — Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту

$$S= \frac{1}{2} ah $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — основание

$h$ — высота

$a =$ $h =$

Через две стороны и угол

$$S= \frac{1}{2} ab sin \alpha $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$ \alpha $ — угол между сторонами $a$ и $b$

$a =$ $b =$ $ \alpha =$

Формула Герона

$$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$a =$ $b =$ $c =$

Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$ $S$ — площадь треугольника

$r$ — радиус вписанной окружности

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$r =$ $p =$

Через радиус описанной окружности

$S= \frac{abc}{4R} $

$S$ — площадь треугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$c$ — сторона

$a =$ $b =$

$c =$ $R =$

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= \frac{1}{2} ab $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$a =$ $b =$

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$ $S$ — площадь треугольника

$d =$ $e =$

Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$p$ — полупериметр, $p= \frac{a+b+c}{2}$

$a =$ $b =$ $p =$

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha$$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами

$a =$ $ \alpha =$

Площадь равнобедренного треугольника

$a$ — сторона

$b$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами и основанием

$a =$ $b =$ $ \alpha =$

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} $$ $S$ — площадь треугольника

$b$ — сторона

$\alpha$ — угол между боковыми сторонами и основанием

$b =$ $\alpha =$

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a = b =

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} $$ $S$ — площадь треугольника

$a$ — сторона

$a =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4}$$ $S$ — площадь треугольника

$R$ — радиус описанной окружности

$R =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= 3 \sqrt{3}r^2 $$ $S$ — площадь треугольника

$r$ — радиус вписанной окружности

$r =$

Площадь равностороннего треугольника

$$S= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ $S$ — площадь треугольника

$h$ — высота

$h =$

По каким формулам можно вычислить площадь треугольника

Геометрия 8 класса — это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=\frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.2\sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=\frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $\beta$ и $\gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$\frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma — m_a)(\sigma — m_b)(\sigma — m_c)}$,
где $\sigma$ — полусумма медиан.{2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Как правильно найти площадь треугольника. Площадь треугольника

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Чтобы определить площадь треугольника, можно пользоваться разными формулами. Из всех способов самый легкий и часто применяемый — это умножение высоты на длину основания с последующим делением полученного результата на два. Однако данный метод далеко не единственный. Ниже вы сможете прочесть, как найти площадь треугольника, используя разные формулы.

Отдельно мы рассмотрим способы вычисления площади специфических видов треугольника — прямоугольного, равнобедренного и равностороннего. Каждую формулу мы сопровождаем коротким пояснением, которое поможет вам понять ее суть.

Универсальные способы нахождения площади треугольника

В приведенных ниже формулах используются специальные обозначения. Мы расшифруем каждое из них:

a, b, c – длины трех сторон рассматриваемой нами фигуры;
r – радиус окружности, которая может быть вписана в наш треугольник;
R – радиус той окружности, которая может быть описана вокруг него;
α — величина угла, образованного сторонами b и с;
β — величина угла между a и c;
γ — величина угла, образованного сторонами а и b;
h – высота нашего треугольника, опущенная из угла α на сторону а;
p – половина суммы сторон a, b и с.

Логически понятно, почему можно находить площадь треугольника этим способом. Треугольник легко достраивается до параллелограмма, в котором одна сторона треугольника будет выполнять роль диагонали. Площадь параллелограмма находится умножением длины одной из его сторон на значение высоты, проведенной к ней. Диагональ разделяет этот условный параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Следовательно, совершенно очевидно, что площадь нашего исходного треугольника должна равняться половине площади этого вспомогательного параллелограмма.

S=½ a · b·sin γ

Согласно этой формуле, площадь треугольника находится умножением длин двух его сторон, то есть а и b, на синус образованного ими угла. Эта формула логически выводится из предыдущей. Если опустить высоту из угла β на сторону b, то, согласно свойствам прямоугольного треугольника, при умножении длины стороны a на синус угла γ получаем высоту треугольника, то есть h.

Площадь рассматриваемой фигуры находим путем умножения половины радиуса окружности, которую в него можно вписать, на его периметр. Иными словами, находим произведение полупериметра на радиус упомянутой окружности.

S= a · b · с/4R

Согласно данной формуле, необходимую нам величину можно найти путем деления произведения сторон фигуры на 4 радиуса окружности, вокруг нее описанной.

Эти формулы универсальны, так как дают возможность определить площадь любого треугольника (разностороннего, равнобедренного, равностороннего, прямоугольного). Можно это сделать и при помощи более сложных вычислений, на которых мы подробно останавливаться не станем.

Площади треугольников со специфическими свойствами

Как найти площадь прямоугольного треугольника? Особенностью этой фигуры является то, что две ее стороны одновременно являются ее высотами. Если а и b являются катетами, а с становится гипотенузой, то площадь находим так:

Как найти площадь равнобедренного треугольника? В нем две стороны с длиной а и одна сторона с длиной b. Следовательно, его площадь определить можно путем деления на 2 произведения квадрата стороны а на синус угла γ.

Как найти площадь равностороннего треугольника? В нем длина всех сторон равняется а, а величина всех углов — α. Его высота равна половине произведения длины стороны а на корень квадратный из 3. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно квадрат стороны а умножить на корень квадратный из 3 и разделить на 4.

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

Прямоугольный.
Тупоугольный.
Остроугольный.
Разносторонний.
Равносторонний.
Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.

Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.

Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.

Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.

Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.

Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника.

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны н а, н в, н с.

1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * н а. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р — а) * (р — в) * (р — с)).

3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с — а) * (а + с — в) * (а + в — с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.

Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника

Обозначения, которые требуются для прочтения формул: α, β, γ — углы. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно.

1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ. Подобным образом следует записать формулы для двух других случаев.

2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Две последние формулы являются не самыми простыми. Запомнить их довольно сложно.

Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей

Дополнительные обозначения: r, R — радиусы. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной.

1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с).

2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности. В буквенном выражении это выглядит так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частный случай: прямоугольный треугольник

Это самая простая ситуация, поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника.

Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.

Частный случай: равнобедренный треугольник

Поскольку у него две стороны равные, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a — ½ в)).

Если ее преобразовать, то она станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так:

S = ¼ в √(4 * a 2 — b 2).

Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a 2 * sin β.

Частный случай: равносторонний треугольник

Обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом:

S = (а 2 √3) / 4.

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.

Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.

Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Пример задачи на формулу Герона

Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.

Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).

Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.

Ответ. S = 2 √14 см 2 или 7,48 см 2 .

Пример задачи с прямоугольным треугольником

Условие. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см 2 .
Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче.
180 = ½ а * в;

а = в + 31.
Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в 2 + 31 в — 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и — 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной.

Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины.

Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.

Задача на нахождение стороны через площадь, сторону и угол треугольника

Условие. Площадь некоторого треугольника 60 см 2 . Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.

Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так:

60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5.

После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16.

Ответ. Искомая сторона равна 16 см.

Задача о квадрате, вписанном в прямоугольный треугольник

Условие. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми.

Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника.

18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см 2 .

Ответ. Искомая площадь равна 1176 см 2 .

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону
		Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
		. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности
		S = 2R² sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
		Посмотреть вывод формулы	h – высота
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	где a – любая сторона, h_a – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона
	где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
	S = 2R² sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
	где a – сторона Посмотреть вывод формулы
	где h – высота Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R² sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_actg C , y = h_actg B ,

то

a = x + y =
= h_actg C + h_actg B =
= h_a( ctg C + ctg B) .

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

Поэтому

a = 2R sin A ,
b = 2R sin B ,
c = 2R sin C ,

В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

Утверждение 7.

Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство h = 3r. Следовательно,

Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Утверждение 8.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

Поскольку

b = a tg φ ,

то

Рассмотрим рисунок 13.

Рис. 13

Поскольку

b = a ctg φ ,

то

Рассмотрим рисунок 14.

Рис. 14

Поскольку

a = c cos φ ,
b = c sin φ ,

то

Доказательство утверждения 8 завершено.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

формула расчета площади прямоугольного треугольника / 01.10.2021

Если вам необходимо вычислить площадь треугольника, воспользуйтесь нашим пошаговым путеводителем. Prostobank.ua рассказывает, как узнать площадь прямоугольного, равностороннего треугольника.

Что такое треугольник?

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками (стороны треугольника), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Обозначение: Сторона треугольника обозначается латинской буквой a, высота — h

Для расчета площади треугольника используется высота. Поэтому стоит определить, что высотой треугольника (h) является перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Формула расчета площади треугольника

Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S), необходимо умножить ½ на его сторону и на высоту.

S_{треугольника}=½* a* h

Как видно из вышеописанной формулы, посчитать площадь треугольника достаточно просто. Нужно только знать длину стороны и высоты фигуры. Если вам необходимо перевести площадь из одной единицы измерения в другую, воспользуйтесь нашим калькулятором площади.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой. Соответственно сторона треугольника (b) будет его высотой.

S_{треугольника}=½* a* b, где a* b – стороны треугольника, которые образуют прямой угол (90 градусов)

Как найти площадь равностороннего треугольника?

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, нужно квадрат его стороны умножить на √3 и поделить на четыре:

S_{треугольника}= (a²*√3 )/4

Площадь треугольника — пояснения и примеры

В этой статье вы узнаете площадь треугольника, а определите площадь различных типов треугольников . Площадь треугольника — это пространство внутри треугольника. Он измеряется в квадратных единицах.

Прежде чем перейти к теме , касающейся области треугольника , давайте познакомимся с такими терминами, как основание и высота треугольника.

Основание — это сторона треугольника, которая считается нижней частью, а t высота треугольника — это перпендикулярная линия, проведенная на его основание из вершины, противоположной основанию. .

На приведенном выше рисунке пунктирными линиями показаны возможные высоты △ ABC. Обратите внимание, что у каждого треугольника, возможно, есть три высоты или высоты.

Высота треугольника △ ABC равна h ₁ , когда основание является стороной.
Высота треугольника △ ABC равна h3 при основании AB.
Высота треугольника △ ABC равна h ₃ при основании
Высота треугольника △ ABC может находиться вне треугольника ( h ₄ ), что составляет такая же, как высота h ₁ .

Из иллюстраций выше мы можем сделать следующие наблюдения:

Высота треугольника зависит от его основания.
Перпендикуляр к основанию треугольника равен высоте треугольника.
Высота треугольника может быть вне треугольника.

Обсудив понятие высоты и основания треугольника, давайте теперь приступим к вычислению площади треугольника.

Как найти площадь треугольника?

Площадь прямоугольника нам хорошо известна, т.е.е., длина * ширина . Что будет, если прямоугольник разделить пополам по диагонали (разрезать пополам)? Какая будет его зона новостей? Например, в прямоугольнике с основанием и высотой 6 единиц и 12 единиц, соответственно, площадь прямоугольника составляет 72 квадратных единицы.

Теперь, если вы разделите на две равные половины (после деления прямоугольника пополам по диагонали), площадь двух новых фигур должна составлять 36 квадратных единиц каждая. Две формы новостей представляют собой треугольники. Это означает, что если прямоугольник разрезан по диагонали на две равные половины, две новые формы образуются треугольниками, где каждый треугольник имеет площадь, равную ½ площади прямоугольника.

Площадь треугольника — это общее пространство или область, окруженная определенным треугольником.
Площадь треугольника равна произведению основания и высоты на 2.

Стандартная единица измерения площади — квадратные метры (м ²).

Другие единицы включают:

Квадратные миллиметры (мм ²)
Квадратные дюймы (дюймы ²)
Квадратные километры (км ²)
Квадратные ярды.

Формула площади треугольника

Общая формула для вычисления площади треугольника:

Площадь (A) = ½ (b × h) квадратных единиц, где; A — площадь, b — основание, h — высота треугольника. Треугольники могут быть разной природы, но важно отметить, что эта формула применима ко всем треугольникам. Различные типы треугольников имеют разные формулы площади.

Примечание. База и высота должны быть в одних и тех же единицах измерения, то есть в метрах, километрах, сантиметрах и т. Д.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь треугольника = (½ × основание × высота) квадратных единиц.

Пример 1

Найдите площадь прямоугольного треугольника с основанием 9 м и высотой 12 м.

Решение

A = ¹ / ₂ × основание × высота

= ¹ / ₂ × 12 × 9

= 54 см²

Пример 2

Основание и высота прямоугольного треугольника равны 70 см и 8 м соответственно.Какая площадь у треугольника?

Решение

A = ½ × основание × высота

Здесь у нас 70 см и 8 м. Вы можете работать с cm или m. Давайте работать в метрах, заменив 70 см на метры.

Разделите 70 см на 100.

70/100 = 0,7 м.

⇒ A = (½ × 0,7 × 8) м ²

⇒ A = (½ x 5,6) м ²

⇒ A = 2,8 м ²

Площадь равнобедренного треугольника

An Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а также два угла равны.Формула площади равнобедренного треугольника:

⇒A = ½ (основание × высота).

Если высота равнобедренного треугольника не указана, для определения высоты используется следующая формула:

Высота = √ (a ² — b ²/4)

Где;

b = основание треугольника

a = длина стороны двух равных сторон.

Следовательно, площадь равнобедренного треугольника может быть;

⇒A = ½ [√ (a ² — b ²/4) × b]

Кроме того, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника определяется по формуле:

A = ½ × a ², где a = длина стороны двух равных сторон

Пример 3

Рассчитайте площадь равнобедренного треугольника с основанием 12 мм и высотой 17 мм.

Решение

⇒ A = ½ × основание × высота

⇒ 1/2 × 12 × 17

⇒ 1/2 × 204

= 102 мм ²

Пример 4

Найдите площадь равнобедренного треугольника, длина сторон которого составляет 5 м и 9 м.

Решение

Пусть основание b = 9 м и a = 5 м.

⇒ A = ½ [√ (a ² — b ²/4) × b]

⇒ ½ [√ (5 ² — 9 ²/4) × 9]

= 9 .81m ²

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором три стороны равны и три внутренних угла равны. Площадь равностороннего треугольника:

A = (a ² √3) / 4

, где a = длина сторон.

Пример 5

Вычислите площадь равностороннего треугольника со стороной 4 см.

Решение

⇒ A = (a ²/4) √3

⇒ (4 ²/4) √3

⇒ (16/4) √3

= 4√3 см ²

Пример 6

Найдите площадь равностороннего треугольника с периметром 84 мм.

Решение

Периметр равностороннего треугольника = 3a.

⇒ 3a = 84 мм

⇒ a = 84/3

⇒ a = 28 мм

Площадь = (a ²/4) √3

⇒ (28 ²/4) √3

= 196√3 мм ²

Площадь разностороннего треугольника

Разносторонний треугольник — это треугольник с 3 разными длинами сторон и 3 разными углами. Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать по формуле Герона.
Формула Герона дается как;
⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}

, где «p» — это полупериметр, а a, b, c — длины сторон.

⇒ p = (a + b + c) / 2

Пример 7
Вычислите площадь треугольника, длина сторон которого составляет 18 мм, 20 мм и 12 мм.

Решение

⇒ p = (a + b + c) / 2
Подставьте значения a, b и c.
⇒ p = (12 + 18 + 20) / 2
⇒ p = 50/2
⇒ p = 25
⇒ Площадь = √ {p (p — a) (p — b) (p — c)}
= √ {25 x (25 — 12) x (25 — 18) x (25 — 20)}
= √ (25 x 13 x 7 x 5)
= 5√455 мм ²

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как найти площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, умножьте основание на высоту и разделите на 2.В качестве альтернативы, разделите основание на 2, а затем умножьте на высоту или разделите высоту на 2, а затем умножьте на основание.

Не имеет значения, умножаете ли вы сначала основание и высоту, а затем делите ответ вдвое, или сначала делите вдвое основание или высоту, а затем умножаете.

Например, вот прямоугольный треугольник с основанием 8 см и высотой 3 см.

Умножая основание и высоту, получаем 8 × 3 = 24. Ответ вдвое равен 12.

Площадь 12 см ².

Площадь треугольника измеряется в квадратах. Возьмите единицу измерения сторон и запишите ее в квадрате после вашего ответа. Если стороны измеряются в см, то единицы площади равны ² см. Если стороны измеряются в м, то единицы площади равны м ².

В этом вычислении мы умножили сантиметры на сантиметры, поэтому единицы площади в этом примере равны см ².

Вместо того, чтобы сначала умножать основание на высоту, а затем делить на 2, мы можем сначала разделить пополам одну из длин основания или высоты.

Мы рассмотрим тот же пример и сначала разделим на 2 перед умножением.

Так как 8 см — это ровно, а 3 см — нет, то длину 8 см легче сократить вдвое.

Половина 8 равна 4, а затем 4 × 3 = 12. Площадь 12 см ².

Ответ один и тот же независимо от того, в каком порядке умножаются числа.

Формула площади треугольника: ¹/₂ × основание × высота. Эту формулу проще записать как Area = ¹/₂ bh.

Формула Area = ¹/₂ bh работает для всех треугольников, независимо от их размера и формы. Если известны высота и основание, эту формулу можно использовать для расчета площади.

Вот пример использования формулы для вычисления площади треугольника.

Основание этого треугольника составляет 11 м, а высота треугольника 8 м.

Значение b = 11 и значение h = 8.

¹/₂ × b × h становится ¹/₂ × 11 × 8.

Мы можем сначала умножить 11 на 8, а затем разделить ответ вдвое. 11 × 8 = 88, а затем 88 ÷ 2 = 44.

Длины сторон измеряются в метрах, поэтому площадь этого треугольника составляет 44 м ².

При обучении нахождению площади треугольника рекомендуется сначала разделить на 2 перед умножением, чтобы упростить расчет.

Проще сначала разделить 8, чтобы получить 4, а затем умножить это на 11, чтобы получить тот же ответ: 44 m ².

Делая сначала деление, в сумме умножения используются меньшие числа, которые легче вычислить. Этот метод также предполагает уменьшение вдвое меньшего числа, а не большего окончательного ответа.

При использовании формулы для определения площади треугольника важно убедиться, что основание и высота пересекаются под прямым углом.

Иногда вам могут быть даны все три стороны треугольника. Чтобы вычислить площадь треугольника, выберите две длины, расположенные под прямым углом друг к другу, в качестве основания и высоты.Умножьте эту длину, а затем разделите на 2. Не обращайте внимания на другие длины сторон.

Почему площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту

Любой треугольник можно нарисовать внутри прямоугольника, который в два раза больше его размера. Площадь прямоугольника равна основанию, умноженному на высоту, и поэтому площадь треугольника равна половине основания, умноженному на высоту.

Площадь прямоугольника равна основанию × высоте, также может быть записано как длина × ширина.

Чтобы из прямоугольника получился треугольник, разделите его пополам по диагонали.

Поскольку площадь прямоугольника равна основанию × высоте, площадь треугольника составляет ¹/₂ × основание × высота.

Вот еще один пример треугольника, который вдвое меньше прямоугольника.

Площадь прямоугольника составляет 10 × 6 = 60 мм ², а площадь треугольника составляет половину этой площади.

Площадь треугольника 30 мм ²

Помните, что при обучении площади треугольника проще всего сначала разделить высоту или основание на 2.

Половина 10 равна 5, а затем 5 × 6 = 30 мм ².

Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

Площадь — это размер поверхности!
Узнайте больше о площади или воспользуйтесь калькулятором площади.

Треугольник
Площадь = ½ × b × h
b = основание
h = высота по вертикали Квадрат
Площадь = ²
a = длина стороны Круг
Площадь = π × r ²
r = радиус Сектор
Площадь = ½ × r ² × θ
r = радиус
θ = угол в радианах

Пример: Какова площадь этого прямоугольника?

Формула:

Площадь = Ш × В
Ш = Ширина
В = Высота

Мы знаем w = 5 и h = 3 , поэтому:

Площадь = 5 × 3 = 15

Пример: Какова площадь этого круга?

Радиус = r = 3

Площадь		= π × r ²
		= π × 3 ²
		= π × (3 × 3)
		= 3.14159 … × 9
		= 28,27 (до 2 знаков после запятой)

Пример: Какова площадь этого треугольника?

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Более сложный пример:

Пример: Сэм косит траву по цене 0 долларов.10 штук за квадратный метр

Сколько зарабатывает Сэм, обрабатывая эту область:

Разобьем область на две части:

Часть А представляет собой квадрат:

Площадь A = a ² = 20 м × 20 м = 400 м ²

Часть B представляет собой треугольник. При взгляде сбоку он имеет основание 20 м и высоту 14 м.

Площадь B = ½b × h = ½ × 20 м × 14 м = 140 м ²

Итак, общая площадь:

Площадь = Площадь A + Площадь B = 400 м ² + 140 м ² = 540 м ²

Сэм зарабатывает 0 долларов.10 штук за квадратный метр

Сэм зарабатывает = 0,10 доллара × 540 млн ² = 54 доллара

1754, 1755, 1756, 1757, 1758, 1759, 1760, 1761, 3250, 3251

Площадь треугольника из скалена — формула, примеры, определение

Общая площадь разностороннего треугольника — это площадь между границами разностороннего треугольника. Разносторонний треугольник — это особый тип треугольника, в котором все три стороны треугольника имеют разную длину, а также углы разной меры.Хотя все углы разностороннего треугольника различны, сумма всех внутренних углов треугольника по-прежнему составляет 180 градусов. Мы обсудим площадь разностороннего треугольника, формулу расчета площади вместе с решенными примерами и несколько практических вопросов в конце.

Какова площадь скаленового треугольника?

Площадь разностороннего треугольника можно определить как количество пространства, занимаемого плоской поверхностью внутри разностороннего треугольника.Он измеряется как «количество» квадратных единиц (квадратных сантиметров, квадратных дюймов, квадратных футов и т. Д.).

Формула площади прямоугольного треугольника

Формула площади разностороннего треугольника используется для определения площади, занимаемой разносторонним треугольником в пределах его границы. Площадь разностороннего треугольника получается путем отнесения половины произведения основания к высоте треугольника. Таким образом, формула для площади разностороннего треугольника с основанием «b» и высотой «h» равна «(1/2) bh».

Или, площадь масштабного треугольника = [(1/2) × основание × высота] квадратных единиц

Расчет площади чешуйчатого треугольника

Поскольку треугольник имеет 6 величин, а именно 3 стороны и 3 угла, площадь треугольника рассчитывается по различным формулам в зависимости от известных величин треугольника.

Площадь скаленового треугольника с основанием и высотой

Если известны основание и высота разностороннего треугольника, то площадь треугольника равна:

Площадь треугольника = (1/2) × основание × высота

, где b и h — основание и высота треугольника соответственно.

Площадь треугольника из скалена по формуле Герона

Формула Герона применима, когда нам известны все три стороны треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a, b и c, показанный на рисунке.

Формула Герона: \ (\ text {Area} = \ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} \)

где, a, b, c — длина стороны треугольника, а, s — полупериметр, равный (a + b + c) / 2.

Площадь двухстороннего треугольника с включенным углом (SAS)

Мы можем найти площадь разностороннего треугольника, если заданы длина двух его сторон и прилегающий угол.

1. Когда известны две стороны b и c и прилегающий угол A, площадь треугольника равна, Area = (1/2) bc × sin A

2. Если известны стороны a и c и прилегающий угол B, площадь треугольника равна, Area = (1/2) ac × sin B

3. Если известны стороны a и b и прилегающий угол C, площадь треугольника равна, Area = (1/2) ab × sin C

Список площадей треугольника шкалы Формула Список

Площадь треугольника можно рассчитать по формулам, описанным выше.Вот список всех этих формул:

Площадь чешуйчатого треугольника при	Формула
Даны основание и высота треугольника	(1/2) × основание × высота
Даны стороны треугольника	\ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \) где a, b, c — стороны, а s — полупериметр, s = (a + b + в) / 2
Даны две стороны и угол наклона	\ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side} _2} \ times \ sinθ \) где ‘θ’ — угол между заданными двумя сторонами .

Часто задаваемые вопросы о формуле площади треугольника из скалена

Какова площадь скаленового треугольника и периметр скаленового треугольника в математике?

Площадь фигуры — это область, ограниченная разносторонним треугольником. Периметр разностороннего треугольника — это общая длина границы фигуры.

Какова формула для расчета площади треугольника из скалена?

Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать по разным формулам,

Использование основания и высоты: (1/2) × основание × высота
Используя формулу Герона: \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где a, b, c — стороны, а s — полупериметр, s = (а + б + в) / 2.
Использование тригонометрии: \ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side} _2} \ times \ sinθ \), где ‘θ’ — угол между учитывая две стороны.

Как определить площадь треугольника из чешуи?

Площадь треугольника можно рассчитать по разным формулам в зависимости от известных параметров.

Площадь разностороннего треугольника можно рассчитать, используя основание и высоту, найдя половину произведения основания и высоты разностороннего треугольника.
Учитывая размер трех сторон разностороннего треугольника, формулу Герона можно использовать для определения площади разностороннего треугольника: A \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \ ), где a, b, c — стороны, s — полупериметр, s = (a + b + c) / 2.
Мы можем вычислить площадь разностороннего треугольника, если две стороны и включенный угол заданы как, Area = \ (\ dfrac {1} {2} \: {\ text {side} _1} \ times {\ text {side } _2} \ times \ sinθ \), где ‘θ’ — угол между заданными двумя сторонами.

Как определить площадь чешуйчатого треугольника без высоты?

Формулу Герона можно использовать для определения площади треугольника, когда известны длины трех сторон треугольника. Следовательно, площадь треугольника можно рассчитать по формуле Герона без использования высоты. Формула для вычисления площади в этом случае имеет вид: A = \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где s — это полупериметр.

Как определить площадь чешуйчатого треугольника с учетом двух сторон и угла?

Площадь треугольника равна половине произведения данных двух сторон и синуса включенного угла.Подробное объяснение см. В разделе «Площадь треугольника с 2 сторонами и включенным углом» (SAS)

Как определить площадь треугольника из чешуи скалена с 3 сторонами?

Площадь трехстороннего треугольника можно рассчитать по формуле Герона: Area = \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где ‘s’ — полупериметр, а «a», «b» и «c» — стороны разностороннего треугольника.

Как определить площадь неправильного треугольника из скалена?

Площадь неправильного треугольника (иногда называемого разносторонним треугольником) можно рассчитать по формуле: \ (\ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \), где, ‘s’ — это полупериметр, а ‘a’, ‘b’ и ‘c’ — стороны разностороннего треугольника.

Какова высота треугольника из чешуи?

Высота разностороннего треугольника — это длина перпендикуляра от одной стороны треугольника до противоположной вершины.

Как рассчитать площадь тупого треугольника?

Площадь тупого треугольника можно рассчитать по формуле: (1/2) × основание × высота, определив длину любой из его сторон и высоту.

Измерение площадей (предварительная алгебра, площадь и объем) — Mathplanet

Площадь параллелограмма измеряется так же, как площадь прямоугольника или квадрата.{2} $$

Как мы показали в предыдущем разделе, мы можем разделить квадрат или четырехугольник на два треугольника. Это дает нам, что площадь треугольника равна половине площади четырехугольника с тем же основанием и высотой.

Если площадь параллелограмма A = b ∙ h, тогда площадь треугольника A = 0,5b ∙ h или

$$ A = \ frac {1} {2} b \ cdot h $$

Пример

$$ \\ A = \ frac {1} {2} b \ cdot h \\\\\\ \: \: \: A = \ frac {1} {2} \ cdot 8 \ cdot 3 \\\ \\\ A = \ frac {1} {2} \ cdot 24 \\\\\\ \, A = 12 \: in ^ {2} \\ $$

Трапеция — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. {2} $$

Площадь круга отличается от площади треугольника или четырехугольника.{2} $$

Видеоурок

Найдите районы

Площадь и периметр треугольника

Периметр треугольника

Периметр многоугольника — это общая длина границы. Для треугольника мы можем найти его, сложив длины трех его сторон.

Мы можем найти длину ограждения, необходимую для треугольного парка, найдя периметр треугольника.

Сервировочный поднос, как показано на рисунке, образует равносторонний треугольник, то есть треугольник с тремя равными сторонами. Пусть каждая сторона будет длиной 20 см.

Чтобы найти общую длину декоративного шнурка, наклеиваемого на внешние границы, нужно найти периметр треугольника. Поскольку все три стороны треугольника имеют одинаковую длину, мы можем найти периметр, умножив длину каждой стороны на 3.

20 + 20 + 20 = 3 × 20 = 60 см.

Таким образом, периметр равностороннего треугольника в 3 раза больше длины каждой стороны.

Площадь треугольника

Площадь двумерной фигуры — это пространство, занимаемое фигурой. Эту площадь можно найти, разделив фигуру на единичные квадраты и определив количество единичных квадратов в форме, поскольку каждый единичный квадрат занимает одну квадратную единицу пространства.

Рассмотрим прямоугольник длиной 4 см и шириной 3 см. Он может быть заполнен 3 строками и 4 столбцами единичных квадратов, поэтому площадь равна 3 умноженным на 4 или 12 квадратным сантиметрам.То есть площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Прямоугольник можно разделить на два равных треугольника.

Итак, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника. То есть ¹ ⁄ ₂ x l x w.

Рассмотрим разносторонний треугольник △ ABC. Обратите внимание: чтобы записать площадь треугольника как половину площади прямоугольника, нам нужно, чтобы высота была перпендикулярна основанию. Итак, нарисуйте перпендикуляр от вершины к противоположной стороне.

Здесь BD — перпендикуляр, проведенный из вершины B к противоположной стороне AC.

Таким образом, площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты.

Интересные факты

Площадь A равностороннего треугольника со стороной s см можно рассчитать по формуле A = ^√3 ⁄ ₄ s ². Значение √3 составляет около 1,73. Таким образом, приблизительная площадь становится A = 0.4325 с ².

Формула области треугольника, примеры, изображения и интерактивные практические задачи. Найти базу иногда непросто, но ..

Площадь треугольника всегда равна половине произведения высоты и основания.

$ Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота) $

Так с какой стороны база?

Выведение площади треугольника из прямоугольника

Пример 1

Какова площадь изображенного ниже треугольника?

Показать ответ

Используйте формулу выше.

$$ A = \ frac {1} {2} (базовая высота \ cdot) \\ A = \ frac {1} {2} (10 \ cdot 3) \\ = \ frac {1} {2} (30) \\ = \ frac {30} {2} = 15 $$

Найдите площадь каждого треугольника ниже.Округлите каждый ответ до ближайшей десятой единицы.