формулы для обычной, круглой, треугольной комнаты
Перед продажей квартиры нам необходимо определить ее характеристики: узнать квадратуру комнат, записать высоту потолков, оценить другие параметры. Высчитать площадь комнаты в квадратных метрах будет полезно и при покупке новостройки: станет проще оценивать представленное на рынке жилье, т. к. вы сможете сравнить его со своим. Но как это сделать? Рассказывают наши эксперты.
Интересно, что метр квадратный официально обозначается как м² или как m² (международная система написания единиц измерения). Записывать его как м2 — ошибка. Если вы не можете поставить надстрочный знак, используйте сокращение «кв. м».
Формулы для расчета квадратуры комнаты
В зависимости от особенностей помещения рекомендации о том, как сосчитать площадь комнаты в квадратных метрах, будут различаться. Мы представили ниже подборку формул, которые используются для определения квадратуры помещения.
Базовая формула
100 х 90 = 90
Однако, измеряя комнату, мы обычно получаем значение в сантиметрах, а не в метрах, например, длина будет 1112 см, а ширина — 961. Для корректного ответа нужно перевести в метры или изначальные величины, или уже готовый результат.
1. Переводим в метры изначальные величины
Так как в 1 метре 100 сантиметров, нужно поделить сантиметры на 100, чтобы получить метры.
1112 / 100 = 11,12 м
961 / 100 = 9,61 м
11,12 х 9,61 = 106,9 м²
2. Переводим в метры результат
Так как в 1 квадратном метре 10000 квадратных сантиметров, конечный результат нужно поделить на 10000.
1112 х 961 = 1068632 см²
1068632 / 10000 = 106,9 м²
Обратите внимание! В обоих случаях результат получался с большим количеством знаков после запятой (106,8632 и т. д.). Мы округлили его по правилам округления, согласно которому цифра, записанная в выбранном разряде (у нас это десятые), не меняется, если за ней следует 0, 1, 2, 3 или 4 и увеличивается на один, если за ней следует 5,6,7,8 или 9. У нас за десятыми следует 6 сотых, поэтому мы увеличиваем цифру на 1, получая 106,9 вместо 106,8.
Расчет площади круглой комнаты
Не всегда удается выделить на плане исключительно прямоугольники. Сегодня все чаще строится жилье нестандартной конфигурации — с полукруглыми нишами и другими овальными элементами. Если у вас обнаружился элемент в виде круга, используйте формулу:
S комнаты = πR², где R – радиус. Число «Пи» в этом случае берется как 3,14.
Не забудьте, что круглая ниша у вас обрезана, поэтому результат нужно поделить на два, если у вас полукруг и т. д.
Арки считаются по двум формулам: круга и квадрата. Сначала на плане разделяете арку на полукруг и прямоугольный сегмент, потом рассчитываете обе площади и складываете их между собой.
Площадь треугольника
Как рассчитать площадь комнаты в м², если она треугольная? Для таких случаев используется формула Герона. Она выглядит так:
Площадь комнаты = √ (P(P — A) х (Р — В) х (Р — С))
В А, В и С в данном расчете — это длины сторон треугольника, площадь которого нужно определить. А Р является его полупериметром. Его нужно рассчитать заранее, сложив длину всех сторон и поделив ее на два. Формула выглядит так: Р = (А + В + С) / 2.
Как проходит расчет
Даже зная, как найти площадь комнаты в квадратных метрах, многие сомневаются, с чего начать в собственной квартире. В первую очередь вооружитесь калькулятором, рулеткой, карандашом и листом бумаги. Вам потребуется составить план помещения. Этот пункт можно пропустить, если у вас есть документы на квартиру, к которым обычно план приложен. В них, кстати, можно посмотреть общий метраж принадлежащего вам жилья.
Наше жилье редко бывает идеально квадратным или идеально прямоугольным. Обычно в помещении имеются ниши, выступы, вентиляционные конструкции или сантехнические элементы. Если вы пытаетесь понять, как посчитать квадратуру комнаты с нишами, то придется нарисовать их на плане.
Далее на получившемся рисунке поделите пространство на прямоугольники, треугольники, круги и замерьте их стороны. Не забывайте, что для покупки или продажи помещения площадь комнаты в квадратных метрах считается по полу. Если же вы планируете сделать ремонт и повесить натяжные потолки, расчет необходимо делать по потолку. Результаты могут незначительно отличаться из-за наличия труб, воздуховодов и др.
Когда все измерения записаны, подсчитайте площадь каждой из фигур отдельно и сложите все результаты. Если площадь считалась для себя, ее можно немного округлить.
Мы разобрали базовые формулы и постарались объяснить, как вычислить площадь комнаты в квадратных метрах. Надеемся, нам удалось вам помочь. Если же вы все еще не можете оценить размер квартиры, которую хотите продать или купить, обратитесь к нашим экспертам. Они помогут разобраться!
Как рассчитать квадратные метры стен комнаты, расчет площади стен
Приведу пример расчета пола и стен комнаты (кухни) в квадратных метрах.
Формула расчета простая, S = a*b, где S — площадь, а и b — соответственно, длина и ширина комнаты.
В нашем примере (рисунка с обмерами) вместо маленьких букв длина — А и ширина — Б., и противоположенных стен — Г и В.
Чтобы рассчитать площадь комнаты по полу:
— если у нас длина комнаты 5 метра, а ширина 3 метров, тогда нам надо ( 5*3 = 15 кв.м.), в итоге получаем 15 кв.м. по полу
Чтобы рассчитать площадь комнаты по стенам:
Надо с начало сложить длины всех четырех сторон комнаты А + Б + Г + В и умножить на высоту потолка комнаты h, ( А + Б + Г + В)* h
Но это еще не все, для того чтобы получить чистые квадратные метры стен комнаты для ремонта и отделки квартиры, надо из полученного вычесть двери и окно.
К примеру:
— если у нас размеры окна ширина 1,6 метров, а высота 1,5 метров.
— а двери ширина 0,8 метров, а высота 2,05 метров.
Окно: (1,6*1,5)= 2,4 кв.м., в итоге окно получаем 2,4 кв.м.,
Двери: (0,8*2,05)= 1,64 кв.м, в итоге двери получаем 1,64 кв.м.,
Осталось вычесть от (40-2,4-1,64)= 35,96 кв.м.,
ИТОГО: Получили 35,96 кв.м. по стенам комнаты.
Если вы не хотите в ручную рассчитывать площадь стен или вы, что то не поняли при описание расчетов, то вы можете воспользоваться нашим калькулятором и рассчитать
Для расчёта необходимо измерить в метрах длину, ширину комнаты и высоту потолка и внести данные по порядку заполнив форму и вы автоматически получите расчет площади стен в квадратных метрах.
Калькулятор расчёта площади стен
Примечание:
Обращаем ваше внимание, что измерения необходимо проводить в метрах. Т.е. если вы получили длину комнаты 964 сантиметров, то в поля формы необходимо ввести значение 9.64. Обратите внимание, что дробные числа нужно вводить с точкой, а не с запятой!
Т.е. 2,6 — неправильно, 2.6 — правильно
Калькулятор рассчитывает только площадь стен, но без учета и вычета площади окон и дверей, для этого надо еще раз повторить расчеты на площадь окон и дверей описанные выше.
К примеру:
— если у нас размеры окна ширина 1,6 метров, а высота 1,5 метров.
— а двери ширина 0,8 метров, а высота 2,05 метров.
Окно: (1,6*1,5)= 2,4 кв.м., в итоге окно получаем 2,4 кв.м.,
Двери: (0,8*2,05)= 1,64 кв.м, в итоге двери получаем 1,64 кв.м.,
Осталось вычесть от (от полученных расчетов автоматического калькулятора (площадь чистых стен) -2,4-1,64 (Окно и двери)= получим площадь стен с учетом вычета Окон и двери помещения (комнаты) в кв.м.,
Чтобы рассчитать площадь комнаты по полу: воспользуйтесь нашим Калькулятором, чтобы расчитать площадь пола или потолка.
Калькулятор рассчитывает не только площадь пола или потолка, а также данный калькулятор можно использовать для расчёта площади любых других прямоугольных объектов у которых есть длина и ширина. В этом случае вместо ширины и длины комнаты вам необходимо подставить значения ширины и длины этих самых объектов (окна, двери и т.д.,) к примеру таких как
Источник: remont-otdelka-m.ru
Калькулятор расчёта площади комнаты, расчет площади пола и потолка
Приведу пример расчета пола или потолка комнаты (кухни) в квадратных метрах.
Формула расчета простая, S = a*b, где S — площадь, а и b — соответственно, длина и ширина комнаты.
В нашем примере (рисунка с обмерами) вместо маленьких букв длина — А и ширина — Б., и противоположенных стен — Г и В.
Чтобы рассчитать площадь комнаты по полу:
— если у нас длина комнаты 5 метра, а ширина 3 метров, тогда нам надо ( 5*3 = 15 кв.м.), в итоге получаем 15 кв.м. по полу
Воспользуйтесь нашим Калькулятором, чтобы расчитать площадь пола или потолка
Если вы не хотите в ручную рассчитывать площадь пола или вы, что то не поняли при описание расчетов, то вы можете воспользоваться нашим калькулятором и рассчитать площадь пола или потолка автоматически.
Для расчёта необходимо измерить в метрах длину, ширину комнаты и внести данные по порядку заполнив форму и вы автоматически получите расчет площади пола или потолка в квадратных метрах.
Калькулятор расчёта площади пола
Примечание:
Обращаем ваше внимание, что измерения необходимо проводить в метрах. Т.е. если вы получили длину комнаты 964 сантиметров, то в поля формы необходимо ввести значение 9.64. Обратите внимание, что дробные числа нужно вводить с точкой, а не с запятой!
Т.е. 2,6 — неправильно, 2.6 — правильно
Калькулятор рассчитывает не только площадь пола или потолка
К примеру как можно проверить и расчитать в ручную площадь окон и дверей.:
— если у нас размеры окна ширина 1,6 метров, а высота 1,5 метров.
— а двери ширина 0,8 метров, а высота 2,05 метров.
Окно: (1,6*1,5)= 2,4 кв.м., в итоге окно получаем 2,4 кв.м.,
Двери: (0,8*2,05)= 1,64 кв.м, в итоге двери получаем 1,64 кв.м.,
Чтобы рассчитать площадь комнаты по стенам: воспользуйтесь нашим Калькулятором, чтобы расчитать площадь стен
Источник: remont-otdelka-m.ru
Как посчитать квадратные метры комнаты (квадратуру)
При ремонте, покупке материалов нужно знать площадь помещений. Говорят еще «квадратура». Как посчитать площадь комнаты в квадратных метрах, что для этого нужно — будем рассматривать в статье.
Содержание статьи
Немного теории
Как найти площадь различных фигур, проходили еще в начальной школе. Было это давно, так что «обновить» информацию может быть полезно. Будем рассматривать только то, что может иметь отношение к полу. Итак, начнем с самого простого — единиц измерения.
Чтобы посчитать площадь комнаты в квадратных метрах, нужен будет карандаш, рулетка и некоторый багаж знанийЧто такое 1 см² и 1 м²
Площадь любой фигуры измеряется в квадратных метрах или в квадратных сантиметрах. Обозначение см² или м², может встречаться написание кв.м, кв. см., кв. метры, кв. сантиметры и другие вариации.
Что такое один квадратный сантиметрОдин квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см. Если нарисовать такой квадрат, стороны которого равны 1 см, то заштрихованная часть (на рисунке красным или синим) и будет один квадратный сантиметр. Соответственно, квадрат со стороной один метр — 1 м — имеет площадь один квадратный метр. Тот самый «квадрат площади». То есть, это квадратный участок пола (или стены) со стороной в один метр — 1 м². В одном квадратном метре десять тысяч квадратных сантиметров: 1 м² = 10000 см².
Формулы
Это то, что касалось единиц измерения и их соответствия. Но наши помещения, слава богу, больше чем один квадратный метр. Как посчитать площадь комнаты? Сколько в ней квадратных метров? Обычно комната имеет форму прямоугольника, реже — квадрата. Значит, надо будет вспомнить формулы нахождения площади квадрата и прямоугольника.
При помощи очень простых формул, можно рассчитать площадь прямоугольника и квадратаНадо длины сторон прямоугольника перемножить. Получим искомую площадь. Давайте потренируемся.
- Имеем прямоугольник со сторонами 80 см и 50 см. Перемножаем эти цифры: 80 * 50 = 4000 см². Это и будет его площадь.
- Стороны 322 см и 300 см. Получим: 322*300 = 96000 см².
- Есть квадрат со стороной 60 см. Его площадь — 60 * 60 = 3600 см².
В случае с квадратом длину стороны можно возвести в квадрат — получится одно и то же. Но можно не морочить голову. Проще помнить, что надо стороны умножить.
Простейший калкулятор для расчета площади прямоугольной комнаты.
Перевод квадратных сантиметров в квадратные метры
Когда имеем дело с сотнями сантиметров, удобнее и проще считать в метрах. Мы знаем, что в одном метре сто сантиметров. Давайте решим те же примеры, но переведем сантиметры в метры:
- 80 см = 0,8 м; 50 см = 0,5 м. Перемножаем 0,8*0,5 = 0,4 м². То есть, 0,4 квадратных метра.
- 322 см это 3,22 м; 300 см это 3 м. Теперь умножаем полученные цифры: 3,22 * 3 = 9,6 м².
- 60 см равны 0,6 м. Площадь квадрата с такой стороной 0,6*0,6 = 0,36 м².
Цифры получаются намного меньше, запомнить их проще. И если мы хотим посчитать площадь комнаты в квадратных метрах, ее размеры мы меряем в метрах, а не сантиметрах. Можно перевести квадратные сантиметры в квадратные метры. Как уже говорили, в одном квадратном метре содержится десять тысяч квадратных сантиметров.
Соотношение квадратных сантиметров и квадратных метровЕсли же у вас есть площадь в квадратных сантиметрах, чтобы перевести ее в квадратные метры, цифру надо разделить на 10 000. Например:
- 4000 см² / 10000 = 0,4 м²;
- 96000 см² / 10000 = 9,6 м²;
- 3600 см²/ 10000 = 0,36 м².
Как видите, все просто. Надо только запомнить основные положения и посчитать площадь комнаты в квадратных метрах будет совсем несложно. Нужно будет предварительно провести измерения, а потом заняться расчетами.
Как посчитать площадь комнаты в квадратных метрах
Рассчитать площадь комнаты, часто надо при закупке материалов для строительства или ремонта. Например, некоторые виды напольного покрытия продают на квадраты (то есть, на квадратные метры). Чтобы правильно рассчитать его количество, надо знать площадь пола (часто говорят квадратура комнаты, что по сути одно и то же).
Можно найти площадь комнаты зная длину и ширинуИзмерения
Берем рулетку, листок бумаги, карандаш и калькулятор. На бумаге рисуем план комнаты. При помощи рулетки измеряем длины всех стен. Измерения проводим на уровне пола — если постройка старая, велика вероятность того, что стены «завалены» в ту или другую сторону. Тем более что определяем площадь пола, так что логичнее измерять вплотную к стенам, но мерную ленту тянуть по полу.
Схема комнаты с нанесенными измерениямиНа схеме проставляем измерения. Лучше всего в метрах. Точность измерений — до сантиметра. Это понадобится при покупке материалов, которые продаются на погонные метры — линолеум, ковролин или другие рулонные покрытия. Чтобы посчитать площадь комнаты в квадратных метрах, тоже желательна такая точность. Хоть можно, конечно, и округлить. Но лучше это сделать уже получив результат.
Как высчитать квадратуру комнаты
Имея длину и ширину комнаты прямоугольной формы, цифры надо просто перемножить. На рисунке выше такая комната нарисована справа. Длинная стена равна 7 м, короткая — 4 метрам. Перемножаем 7*4 = 28 квадратных метров. Это и есть площадь этого помещения, пола. Другими словами, мы нашли квадратуру. Используя эту цифру, можно покупать напольное покрытие. Но надо иметь в виду, что требуется некоторый запас — на подгонку, подрезку. Чем сложнее схема укладки и чем больше фрагменты напольного покрытия, тем запас должен быть больше.
Часто комната не прямоугольная, а имеет более сложную форму. Чтобы посчитать площадь такой комнаты в квадратных метрах, ее разбивают на простые фигуры. Если удается — на прямоугольники или квадраты. Например, Г-образную комнату разбивают на два прямоугольника. Затем считают площадь каждого прямоугольника отдельно, потом их складывают.
Как найти площадь комнаты сложной формы- Считаем большой прямоугольник: 5 м * 4,35 м = 21,75 м².
- Находим квадратуру маленького: 2,5 м * 2,65 м = 6,625 м².
- Площадь пола в этом помещении равна сумме 21,75 м² + 6,625 м² = 28,375 м².
При покупке материалов, проще пользоваться округленными значениями. Чаще всего говорят, что в этом помещении 28,4 квадрата.
Если помещение имеет участок «срезанной» стены, как на рисунке ниже, проще всего дорисовать прямоугольник так, чтобы косая делила его на два треугольника. В этом случае снова-таки получаем Г-образную комнату. Как высчитать ее площадь уже знаем.
Получается, ищем площадь трех прямоугольниковА недостающий участок — это половина маленького прямоугольника. То есть, находим площадь этого маленького прямоугольника, делим ее пополам и прибавляем к размерам Г-образного участка.
Приведем пример расчета подставляя произвольные значения:
- Большой прямоугольник: 1,75 м *1,93 м = 3,3775 м². Для простоты округлим до 3,38 м².
- Средний прямоугольник: 1,18 м * 0,57 м = 0,6726 м². Снова округлим до 0,67 м².
- Самый маленький прямоугольник (в нашем случае это будет квадрат): 0,57 м *0,57 м = 0,3249 м2, после округления имеем 0,33 м².
- Чтобы найти общую площадь складываем квадратуру двух прямоугольников и добавляем половину площади последнего, самого маленького участка. 3,38 + 0,67 +0,33/2 = 3,38 + 0,67 +0,17 = 4,22 м².
Такая методика — разбиение на простые фигуры — самый удобный и простой метод. Всегда стоит стараться преобразовать сложную фигуру в набор простых. Правда, измерений может потребоваться больше.
Площадь квартиры
Так как ремонт — это «бедствие», которое периодически нас посещает, лучше сделать план всей квартиры с подробными замерами. На этом же плане проставьте площади каждого помещения. После того, как рассчитаете квадратуру всех комнат, сложите цифры и получите метраж квартиры.
Для плана лучше рассчитать метраж каждой комнатыОдин вариант может быть как на рисунке выше — для того, чтобы знать именно площади каждого помещения. Это потребуется для закупки материалов. Но нужен будет еще план, на котором будут все длины. Простенки, ширина окон, дверей и т.д. Это потребуется, например, для разработки схем укладки ламината, напольной плитки или других покрытий. Нужен будет такой план и при планировании теплого пола.
Есть, кстати, приложение-калькулятор для телефона, при помощи которого все вычисления сделать очень просто.
Как посчитать площадь комнаты, стены, пола, потолка
Инструменты для замеров
Для правильного подсчета общей квадратуры вам потребуется такой инструмент, как:
- строительная рулетка не менее 5 метров;
- ручка или карандаш;
- калькулятор;
- строительный уровень или аналогичное приспособление со шкалой;
- стремянка или табуретка;
- лист бумаги для записей.
Можно также воспользоваться специальными сервисами, доступными в интернете, однако, точность их не всегда бывает верной, а для максимальной точности лучше все сделать самостоятельно.
Перед тем как рассчитать площадь стен комнаты, необходимо обеспечить к ним свободный доступ и отодвинуть мебель для возможности беспрепятственного перемещения
Это очень важно, поскольку по исходным данным, полученным от замера, мы получаем общий объем помещения, а также квадратуру потолка и пола
Для максимальной точности рекомендуется перед замерами обозначить ровную линию немного выше уровня плинтусов при помощи строительного уровня или любой другой длинной и ровной рейки. Далее рулетку прикладывают горизонтально к поверхности над плинтусом и на бумаге записывают полученные данные. Следующим этапом замеряют расстояние от пола до потолка, опять прислонив рулетку к стене.
Не забывайте записывать все полученные данные
Если помещение имеет форму прямоугольника, то для получения общей площади комнаты достаточно умножить полученную ширину на длину. Например, если стена по длине составляет 5 метров, а по ширине 3, то умножаем 5 на 3, получаем 15 квадратов.
Аналогичным образом замеряем каждую стену и складываем полученные значения в одну сумму. Например, в прямоугольной комнате 2 стены по 15 квадратных метров и 2 по 8, складываем эти значения 15х2=30, 8х2=16, 30+16=46. Итого общая сумма поверхности стен комнаты составила 46 квадратов.
Как высчитать квадратуру криволинейного помещения?
Порой в комнатах один из углов «срезан» или стена идёт под углом. Тогда действует тот же принцип деления сложных фигур на более простые, но часть из них будет треугольниками.
В сложных задачах, хороший чертёж – это половина успеха. Составьте план помещения, который поможет «делить» помещение на бумаге, а не в уме.
Скошенные углы в комнате
По сути, такая комната – это прямоугольник, от которого «отрезали» треугольник. Найдя площадь этого треугольника, и вычтя его из общей квадратуры, останется площадь комнаты.
Площадь треугольника находится по формуле:
S = ab:2
Где a и b – это катеты, или стороны перпендикулярные друг другу.
Скошенная же часть – это гипотенуза, которая не требуется для вычислений.
- Чтобы узнать «a», измеряется ширина той стены, где начинается срез, а затем противоположная стена и находится разница между ними (например, скошенная стена 1,7 м, а противоположная 3 м, значит, «a» = 1,3 м).
- Аналогично находится «b», только сравниваются длины комнаты (например, 5 м и 3,6 м. Вычисление: 5 – 3,6 = 1,4 м).
- Вычисляется площадь «срезанного» треугольника (1,3 х 1,4 : 2 = 1,82:2 = 0,91 м2).
- Согласно сделанным ранее замерам, если бы комнаты была прямоугольной, её габариты были бы 5 м на 3 м. А значит, квадратура 5 х 3 = 15 м2.
- Из общей квадратуры вычитаем площадь треугольника (15 – 0,91 = 14,09).
Прямоугольные помещения
Если комната имеет правильную (относительно) прямоугольную форму, без всевозможных выступов или ниш, то площадь ее вычисляется довольно просто. Для начала, нужно измерить длину и ширину комнаты, после чего результаты записать на бумажке, чтобы не забыть. Измерения можно производить как в метрах, так и в сантиметрах. Если замеры осуществляются в метрах, то после целых значений метров ставится запятая, а потом пишутся сантиметры. Например, 4 метра, 35 сантиметров следует записать: 4,35 м.
Измерив длину, например, 2,35 м и ширину 1,4 м, данные перемножаются. Например: 2,35 м х 1,4 м. В результате получается 3,290 м2 или 3,29 м2. Как правило, после запятой всегда оставляется две цифры. Если их больше, то значение округляется по правилам, которые излагались еще в начальных классах школы. При этом, можно округлять или до метров, или до сантиметров, в зависимости от требуемой точности. В основном, достаточно измерять с точностью до метров и лишь изредка требуется точность до сантиметров.
Площадь комнаты в квадратных метрах
Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:
- Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
- Бумага и карандаш или ручка.
- Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).
Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.
Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.
Прямоугольная комната
Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).
Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.
Помещение неправильной формы
Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).
Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.
Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.
Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):
- Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
- Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
- Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.
Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту
Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный
В этом случае порядок вычислений такой:
- Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
- Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
- Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
- Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.
Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.
Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка
Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.
Полезные советы
- Идеальные параметры помещений редко когда найдешь. Потому, измерять нужную комнату положено в нескольких местах и выводить из этого среднее арифметическое значение. Кроме того, замеры производятся несколько раз, чтобы избежать ошибок и недочетов.
- Периметр помещения с многочисленными неровностями и выступами проще измерить, если протянуть вдоль него шнур или веревку. Потом измерить его длину.
- Подсчеты лучше всего сразу отображать на листе бумаги в виде схемы – это поможет в дальнейшем ремонте и при выборе строительных и отделочных материалов. Если показать схему продавцу-консультанту – он грамотно подберет требуемое количество с учетом стыков и запаса, ориентируясь по метражу помещения.
Измерять комнату необходимо в нескольких местах и выводить из этого среднее арифметическое значение.
Строительство и ремонт – трудоемкий процесс, который требует не только физической и умственной работы, но и немалых материальных затрат. Качественно сделанные замеры помещений помогут вложить минимум усилий и денег.
Некачественные замеры растянут ремонт на длительный период, повлечет за собой проблемы и неудобства. Приведенные выше рекомендации и советы обучат, помогут и в чем-то облегчат жизнь участников этого непростого и интересного дела.
Считаем количество плитки
Зная площадь комнаты, рассчитать количество напольного покрытия будет несложно. Разберемся, как выяснить, сколько плитки понадобится для конкретной комнаты. Для этого нужно узнать, какова площадь одного элемента плиточного покрытия. Зная эти данные, легко произвести необходимые расчеты. Например:
- площадь комнаты – 15 м2;
- размер одной единицы плитки – 0,20х0,30 м.
Расчет количества плитки на пол
Таким образом, площадь одной плитки составит 0,2х0,3 = 0,06 м2. Далее общую площадь комнаты делим на площадь одной плитки и получаем: 15/0,06 = 250 единиц. Именно столько плиток потребуется, чтобы закрыть весь черновой пол в данном помещении. Точно таким же методом вычисляется и количество ламината или паркетной доски, а также других материалов.
Видео – Рассчитываем линолеум
Чтобы высчитать площадь пола в комнате, а затем – и расход материала, достаточно знать элементарные математические формулы и уметь пользоваться калькулятором. Имея последний под рукой (а сейчас калькулятор есть в каждом телефоне), произвести расчеты можно быстро. Главное – быть внимательными при снятии замеров.
Приступаем к расчетам
Прямоугольная комната
Это наиболее типичный и самый простой в расчете случай.
Площадь рассчитывается простым умножением длины на ширину комнаты. К примеру, комната размерами 2,4х3,8 метра будет иметь площадь 2,4*3,8=9,12 (квадратный метр).
Как рассчитать периметр потолка в этом случае? Тоже проще простого: он равен сумме удвоенной длины и удвоенной ширины. 2,4*2+3,8*2=12,4 метра.
Разумеется, при закупке профиля необходимо округлить суммарную его длину до значения, кратного размеру одной планки. То есть если в продаже есть только профиль UD длиной 2 метра, вам придется закупить 14 погонных метров, или 7 планок.
Задача для пятиклассника. Площадь равна произведению длины и ширины.
Комната с нишами и выступами
Как рассчитать площадь потолка в комнате, в которое есть стенные ниши, выступы или встроенные кладовки?
Задача будет ненамного сложнее предыдущей. Но все-таки сложнее.
- Рисуем эскиз комнаты. По возможности — с хотя бы примерным соблюдением пропорций.
- Измеряем и проставляем размеры всех прямых стен.
- А теперь, вооружившись угольником и линейкой, разбиваем эскиз на прямоугольники, одной стороной каждого из которых являются измеренные нами стены.
Задача сводится к несколько усложненному первому сценарию: вычисляем площадь каждого прямоугольника; затем суммируем все полученные площади.
Как посчитать периметр потолочного покрытия в этом случае? Это и вовсе простая задача после проведенных нами измерений: сложите длины всех стен.
И здесь расчет несложен. Достаточно мысленно разделить комнату на два прямоугольника.
Комната с косыми стенами
Ну, а если комната имеет форму сложного многогранника, у которого часть углов не является прямыми? Как рассчитать квадрат потолка тогда?
С периметром и здесь все просто: достаточно, вооружившись рулеткой, измерить протяженность всех стен.
Расчет площади же и здесь начнется с зарисовки эскиза и снятия всех размеров. Разница со сценарием номер два лишь в том, что после деления на простейшие элементы часть получившихся фигур будет не прямоугольниками, а треугольниками. Прямоугольными треугольниками.
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника? Задача опять-таки для средней школы: площадь фигуры равна произведению катетов, разделенному на два. То есть если нам нужно рассчитать сегмент комнаты, у которого примыкающие к прямому углу стороны равны 1,2 и 0,95 метра — задача принимает вид S=1,2*0,95/2=0,57 м2.
Такая конфигурация помещения прекрасно делится на три прямоугольника и прямоугольный треугольник.
Комната с многоуровневым потолком
Как рассчитать квадрат потолка, идущего уступами? Такая картина весьма характерна для многоярусных гипсокартонных конструкций. При этом перепад высоты может иметь не только вид прямой или ломаной линии, но и представлять собой несколько дуг разного радиуса или и вовсе произвольную кривую.
Рассчитать площадь участка с криволинейной границей, безусловно, нелегко. Однако простая логика подсказывает, что сумма всех этих участков с горизонтальной поверхностью при условии, что стены вертикальны, равна… площади пола.
А раз так, то:
- Снимаем размеры со всех прямых участков стен.
- Вычисляем площадь пола по одной из приведенных выше методик.
- Замеряем обычной рулеткой высоту каждого вертикального участка потолка и его длину. На криволинейных участках вам придется измерять расстояния, суммируя небольшие фрагменты дуг, или попросить кого-то из домашних помочь вам с замерами.
- Умножаем для каждого вертикального участка потолка его высоту на протяженность. Прямой или криволинейный, он рассчитывается одним и тем же способом.
- Суммируем площадь пола и площади всех вертикальных уступов. Задача решена.
Расчет периметра потолка, думается, очевиден: и здесь он равен сумме всех отрезков, смежных со стенами.
И даже для такого потолка легко рассчитать площадь с приемлемой точностью. Разумеется, придется замерять длину всех криволинейных поверхностей
Площадь жилых помещений
Перед ремонтом начинается тщательное измерение всего, что есть – и ширина, и длина, и высота и даже диагонали
Дело в том, что при закупке стройматериалов, мы обращаем внимание, на какую площадь рассчитана та или иная упаковка, банка, или рулон обоев
Вычисляем площадь комнаты
Чтобы рассчитать, сколько надо обоев на одну комнату, необходимо произвести такие замеры:
- Высота потолка
- Ширина каждой стены
- Размеры окон и дверей
- Отдельно измерять ниши и выступы (если нестандартное помещение)
Высоту потолка можно измерять в одном месте. Это при условии, что пол ровный и расстояние от пола до потолка будет одинаково везде. Потом измеряем ширину каждой стены и умножаем на высоту. Это и есть площадь конкретной стенки.
Чтобы посчитать, сколько обоев нужно, надо суммировать площади всех стен. Но и это все. Ведь в комнате есть окна и двери, которые не надо оклеивать обоями. Поэтому, сначала вычисляем, сколько места они занимают, а потом уже вычитаем результат из полученной общей площади комнаты.
Вычислить квадратуру стен очень важно, ведь в результате этого мы не только правильно подберем обои, либо другие строительные материалы, но и сделаем правильною смету различных ремонтных работ. Ибо если нанимать работников для ремонта в жилом помещении, то их услуги тоже будут оцениваться от количества квадратных метров
Вычисление площади пола
Измеряем длину и ширину
Некоторые проблемы могут возникнуть с вычислением площади пола.
Обычная формула площади прямоугольника S=a×b может оказаться не совсем корректной в этом случае.
Бывает такое, когда стены в доме неровные, вследствие чего ширина пола в начале комнаты и в конце может быть разной.
Тогда измеряют ширину еще и посредине комнаты. Имея три различных результата, вычисляем среднее арифметическое этих данных — складываются все измерения и сумма делится на количество этих самых замеров. Результат будет хоть и не точный, но наиболее близок к этому.
Иногда в помещении может быть камин или же какая-то колонна, или просто ниша. В таком случае сосчитать необходимое количество паркета на пол становиться тяжелее.
Ведь он не нужен под камином, но им нужно застилать и выступ из комнаты. В подобных случаях нужно из общей площади вычитать ту, которая находится под камином или колонной. Или же наоборот, добавлять к общему еще и площадь ниши или эркера.
Как посчитать квадратные метры стены с окном
Сложнее будет иметь дело со стеной, на которой расположено окно.
В таком случае надо отдельно высчитать размер стены, отдельно – размер окна. Потом из большей площади вычесть меньшую. Получится число метров квадратных, которое необходимо будет покрыть краской или штукатуркой.
- По уже пройденному сценарию высчитать размер стены. Пускай будет уже известное число – 15,4 м2.
- Далее измерить высоту и длину окна. Перемножить числа. К примеру: длина 1,5 м, высота 1,2 м. Если умножить, то получится 1,8. Значит, площадь окна 1,8 кв. м.
- Берем площадь стены и вычитаем из нее размер окна: 15,4 – 1,8 = 13,6. Площадь, которую необходимо будет привести в порядок, – 13,6 кв. м.
Зачем проводить расчет площади комнаты?
Мотивом для расчета площади комнаты могут послужить разнообразные факторы, но по большей части это связано с ремонтом в помещении. Наиболее частым предлогом для математического расчета, является:
- Планирование работы связанной с установкой подвесных потолков, когда существует потребность в знании количества материала для выполнения работ
- Устанавливая натяжные потолки, следует также, быть в курсе, площади в целях расчета материальных ресурсов на ремонт
- Окрашивание и шабровка потолка – не исключение и требует знания замеров, потому что все лакокрасочные работы и грунтовки анализируются на один м2
- Отделывая стены гипсокартонном также существует необходимость в знании площади стены в комнате
- При нанимание рабочих, например, для установления натяжного потолка, их объем работы, будет зависеть от каждого квадратного метра вашего потолка!
- Продавая дом или же, оформляя его, вам нужно обязательно знать, как измерить, площадь полка, стен, потолка.
Как рассчитать квадратуру комнаты разной формы?
Прежде, чем приступить к ремонтным работам любого типа, необходимо рассчитать квадратуру комнаты. Это необходимо для того, чтобы приобрести все необходимое в нужном количестве – дабы и лишнего не осталось слишком много, и не вышло так, что материалов в итоге не хватило. Иногда наличие технического паспорта упрощает расчет. Тем не менее, даже с ним задача не всегда оказывается простой, ведь расчет площади стен комнаты предполагает учет окон и дверей, да и не всегда помещение является строго прямоугольным.
Комната прямоугольной формы
Здесь все достаточно просто – для получения площади пола и потолка необходимо всего лишь перемножить длину и ширину. Взять эти данные можно из технического паспорта, хотя даже при его наличии желательно дополнительно еще раз измерить помещение, потому что на бумаге всегда указана геометрически идеальная форма, тогда как в жизни все может быть иначе, да и здание со временем способно деформироваться. По этой причине желательно промерять все четыре стены – не считайте аксиомой то, что противоположные стены одинаковы.
Если противоположные стены действительно отличаются, вычислить площадь пола можно, исходя из среднего арифметического значения.
Со стенами ситуация несколько иная. Уже имея информацию о длине и ширине комнаты, необходимо рассчитать периметр пола, то есть просто суммировать длину всех сторон. Периметр пола умножается на высоту стены – это и будет общая площадь стен.
Но и на этом еще не все, поскольку в любой комнате есть хотя бы одна дверь, а зачастую еще и окна. Расчет квадратуры оконных и дверных проемов в комнате осуществляется путем умножения ширины проема на его высоту. Все проемы необходимо измерить, если их несколько, нужно сосчитать их общую площадь и отнять ее от площади стен комнаты.
Чтобы рассчитать площадь стен более точно, нужно учитывать оконные и дверные проемы, которые вычисляются из общей квадратурыВ любом случае, берите отделочные материалы с небольшим запасом, поскольку расчет может все-таки оказаться ошибочным, или же часть материала будет израсходована впустую (испорчена при нарезке, останется много отходов после подбора рисунка). Для комнат простой прямоугольной формы покупка материала должна осуществляться с запасом 10-15%.
Провести более точный расчет отделочных материалов помогут наши калькуляторы.
Комната с нишами или выступами
Ситуация усложняется, если помещение не ограничивается четырьмя ровными стенами, а имеет выступы и углубления. Впрочем, и здесь все не так сложно рассчитать.
Начнем с пола и потолка. Для начала представим себе, что комната все-таки прямоугольная, и посчитаем квадратные метры ее пола и потолка так, как было описано выше. Дальше по аналогичной схеме нужно рассчитать размеры выступа или ниши. Понятно, что ниша увеличивает квадратуру, поэтому ее площадь приплюсовывается к площади «прямоугольной» комнаты, а вот с выступом все наоборот – его необходимо вычесть. Следует также отметить, что для расчета теплого пола необходимо воспринимать любую габаритную мебель как выступ, то есть ее размеры тоже отнимаются.
Для расчета поверхности стен помещения разницы между нишей и выступом нет – они в любом случае увеличивают количество необходимых материалов. Не лишним будет старательно замерить длину каждой стены, но можно пойти и более простым путем – найти периметр «идеальной» комнаты без ниш и выступов, а потом добавить к этому периметру «глубину» ниши или выступа, умноженную вдвое. Далее результат просто умножается на высоту помещения.
Сложная геометрия
Иногда архитектура предлагает нам более сложные формы, которые существенно отличаются от прямоугольника. Для каждого случая понадобятся особые формулы, мы же рассмотрим, как рассчитать наиболее распространенные фигуры и будем надеяться, что ничего более сложного читателю не попадется.
Расчет площади наиболее распространенных фигурДля начала попробуем вычислить параметры сложной архитектурной формы, которая как бы состоит из нескольких квадратов или прямоугольников. Здесь рассчитать все сравнительно легко – для пола и потолка нужно условно «разбить» помещение на эти самые квадраты и прямоугольники, произвести вычисления для каждого из них, а потом суммировать все результаты. Для стен схема все та же – нужно найти периметр, который тут уже точно придется старательно измерять самому, а потом умножить его на высоту.
Чуть сложнее, если комната – круглая. Для начала измерим радиус, который обязательно должен быть прямой линией и выходить именно из центра помещения. Остается лишь надеяться, что форма помещения близка к правильному кругу, иначе такие измерения окажутся очень приблизительными. Получив радиус, берем его в квадрат и умножаем на число π, которое, как известно, равно 3,14 – это параметры для пола и потолка.
Для получения площади стен сначала ищем периметр круга – для этого уже известный радиус умножаем на два (получаем диаметр), а уже диаметр умножаем на число π (3,14). Полученная длина окружности умножается на высоту стены – готово.
С площадью треугольника измерения еще сложнее. Для начала нам нужен периметр, его замеряем вручную (а просто умножив его на высоту стен, получаем их площадь). Для определения квадратуры пола и потолка рассчитываем результат по формуле:
S = √((P/2(P/2 -A) (Р/2 — В) (Р/2 – С))),
где S – площадь пола, Р – периметр треугольника, А, В, С – длины его сторон.
Можно воспользоваться другой формулой:
S = Ah/2, где h – высота треугольника, А – основание.
Не забывайте, что в каждом из случаев надо отнять от площади стен квадратуру окон и дверей, а для теплого пола от общей квадратуры помещения нужно отнять еще и площадь, занимаемую мебелью.
Для архитектурных форм сложной геометрии есть смысл увеличить приобретаемый запас материалов до 20-25%, так как отходов будет заметно больше, чем в случае с правильным прямоугольником.
Как вычислить квадратуру крыши
расчет квадратуры кровли для скатных видов крыш
Строительство любого рода невозможно без предварительных расчетов, поэтому этим подготовительным этапом пренебрегать ни в коем случае нельзя. Рассчитать нужно параметры самой крыши, угол ее наклона и прочие моменты, а также количество кровельного материала, которого потребуется для поверхности всей крыши. О том, как это сделать, мы расскажем в этой статье.
Расчет площади крыши зависит от типа самой кровли. Если кровля простая, т.е. односкатная, то особых проблем в расчетах быть не должно. Но бывают и другие случаи, когда есть определенные трудности в этом деле.
В этой статье вы узнаете, как рассчитать площадь кровли и как узнать квадратуру дома для разных типов крыш.
Любое строительство представляет собой довольно затратное мероприятие, поэтому хозяин рад любой возможности хоть как-нибудь сэкономить.
Определение площади крыши включает в себя достаточно много вычислений, среди которых нахождение высоты, угла наклона кровли, а также объема тех строительных материалов, которые необходимы для постройки кровли. Если все сделать грамотно, то вам не придется переплачивать за стройматериалы покупая больше, чем нужно, а также вы сэкономите на транспортировке материала до места строительства.
Сложность расчета будет напрямую зависеть от типа используемой кровли, коих существует достаточное количество.
Содержание статьи
Как посчитать площадь крыши дома: онлайн калькулятор
Как посчитать квадратуру крыши дома и не ошибиться в расчетах? В этом вам поможет наш строительный калькулятор, который считает не только квадратуру дома, но и производит расчет угла наклона, количества кровли, стропил и многое другое.
ВАЖНО!
Данный калькулятор производит расчет покрытия для двускатной кровли. Прежде чем приступить к расчетам, в верхнем правом углу калькулятора нужно выбрать кровельное покрытие.
Ниже представлены калькуляторы для других видов крыш:
Обозначение полей в калькуляторе
Укажите кровельный материал:
Введите параметры крыши (фото выше):
Стропила:
Шаг стропил (см)
Сорт древесины для стропил (см)
123
Рабочий участок бокового стропила (не обязательно) (см)
Расчёт обрешётки:
Расчёт снеговой нагрузки (на фото ниже):
Выберите ваш регион
1 (80/56 кг/м2)2 (120/84 кг/м2)3 (180/126 кг/м2)4 (240/168 кг/м2)5 (320/224 кг/м2)6 (400/280 кг/м2)7 (480/336 кг/м2)8 (560/392 кг/м2)
Расчёт ветровой нагрузки:
Регион
IaIIIIIIIVVVIVII
Высота до конька здания
5 мот 5 м до 10 мот 10 м
Тип местности
Открытая местностьЗакрытая местностьГородские районы
Рассчитать
Результаты расчетов
Крыша:
Угол наклона крыши: 0 градусов.Угол наклона подходит для данного материала.
Угол наклона для данного материала желательно увеличить!
Угол наклона для данного материала желательно уменьшить!
Площадь поверхности крыши: 0 м2.
Примерный вес кровельного материала: 0 кг.
Количество рулонов изоляционного материала с нахлестом 10% (1×15 м): 0 рулонов.
Стропила:
Нагрузка на стропильную систему: 0 кг/м2.
Длина стропил: 0 см.
Количество стропил: 0 шт.
Обрешетка:
Количество рядов обрешетки (для всей крыши): 0 рядов.
Равномерное расстояние между досками обрешетки: 0 см.
Количество досок обрешетки стандартной длиной 6 метров: 0 шт.
Объем досок обрешетки: 0 м3.
Примерный вес досок обрешетки: 0 кг.
Снеговая нагрузка по регионам
Расшифровка полей
Наиболее популярные виды крыш
Постройка кровли представляет достаточно сложный процесс, в котором нужно учитывать не только кровельный материал, но гидро — и теплоизоляцию. Также нужно определиться с типом кровли. Итак, строители различают несколько разновидностей кровли:
Если кровля достаточно простой формы, без лишних изломов, то рассчитать ее площадь не составит большого труда. Если же крыша более сложной конфигурации, с множеством скатов, то тут придется вооружиться всеми своими знаниями в геометрии. Это объясняется тем, что нам придется высчитывать параметры геометрических фигур, входящих в условный рисунок кровли, а сложность будет состоять в типе этих самых фигур.
Виды крыш
В большинстве случаев, крыши частных построек бывают следующих геометрических форм. Площадь скатных крыш считается с помощью этих формул:
- Трапеция. Формула расчета (A+B)*H/2.
- Прямоугольник — A*B.
- Параллелограмм — A*H.
- Треугольник с равными сторонами — (A*H)/2.
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
Стоит понимать, что чем сложнее кровля, т.е. если она состоит из нескольких скатов, тем она сложнее в постройке, а также в иных моментах — утеплении, обслуживании и т.д. Финансовый вопрос также никто не отменял, ведь на такую крышу понадобится больше строительных материалов.
Площадь односкатной крыши
Расчет площади односкатной кровли представляется самым простым, ведь для этого не требуется подробный план кровли.
Рассчитывается она по очень простой формуле:
S = A * B, гдеS — это площадь самой крыши (в данном случае, прямоугольника).
A — это ширина кровли.
B — это длина.
Допустим, длина односкатной крыши составляет 7 метров, а ширина равна 4. Рассчитываем:
S = 4 * 7 = 28 метров.
Обозначения изменены
Как рассчитать площадь крыши двускатного типа?
Такой тип кровли представляет собой две односкатные крыши с разных сторон, поэтому и вычисление будет происходить по схожему алгоритму. Остается только сложить получившиеся значения вместе.
Возьмем для расчета те же параметры, что и в предыдущем примере, т.е. ширина будет ровняться 4 метрам, а длина равна 7. Производим расчет:
S = (4*7) + (4*7) = 28 + 28 = 56 метров.
Обозначения изменены
Квадратура четырехскатной кровли
Если взглянуть на такую крышу сверху, то можно увидеть, что она состоит из четырех геометрических фигур, площади которых нам и нужно вычислить. Иными словами, нам нужно рассчитать эти значения для двух трапеций и двух равносторонних треугольников. Все получившиеся показатели нужно будет сложить.
В качестве длины и ширины возьмем те же значения, т.е. 7 (значение A) и 4 (значение B) метра, а высота будет ровняться условным 3 (значение H) метрам.
Рассчитываем по следующей формуле:
S = A*H/2 = 7*3/2 = 21/2 = 10,5 метров. Значение второго треугольника будет такой же, поэтому складываем эти значения: 10,5 + 10,5 = 21 метр.
Рассчитываем площадь трапеции:
S = (A+B)*H/2 = (7+4)*3/2 = 11*1,5 = 16,5 метра. Прибавляем значение второй трапеции: 16,5 + 16,5 = 33 метра.
Складываем получившиеся значения: 21 + 33 = 54 метра. Это и будет конечная площадь четырехскатной поверхности.
Обозначения изменены
Как произвести расчет площади крыши сложной формы?
В принципе, расчет площади кровли сложной конфигурации мало чем отличается от предыдущих способов. Конечно, придется затратить чуть больше времени, но правила расчета для всех общие:
- Разбиваем пространство на отдельные геометрические элементы. В результате мы получаем различные прямоугольники, треугольники, трапеции и прочие фигуры.
- Далее нужно воспользоваться математическими формулами, знакомыми еще со школьной программы, рассчитывая таким образом площадь для каждой фигуры.
- Помните, что длина ската берется от крайней линии карниза и заканчивая коньком крыши.
- Рассчитываем показатели для всех получившихся фигур, после чего складываем вместе все эти значения.
- Если вы видите, что скат кровли неправильной формы, то лучше разбить его на две простейшие фигуры, ведь куда проще рассчитывать площадь двух трапеций, чем площадь многоугольника. Так вы сэкономите себе время и нервы.
ОСТОРОЖНО!
Ни в коем случае не вычитайте из получившегося значения площади такие элементы крыши, как дымоход, каналы вентиляции, окна мансарды и прочее. Это может привести к тому, что вы просто приобретете меньше кровельного материала, чем это требуется. Будьте предельно бдительны!
Расчет крыш сложных форм
Зависимость площади от типа кровельного материала
Мы уже говорили о том, что вычисление площади кровли необходимо для того, чтобы рассчитать приблизительное количество кровельного материала.
Но даже в том случае, если мы провели все расчеты правильно, то материала все равно нужно приобретать с небольшим запасом, чтобы не столкнуться с его нехваткой в процессе монтажа. Тип кровельного материала также играет важную роль, ведь технология его настила может быть разной.
Шифер, металлическая черепица и профнастил. Каждый из этих материалов реализуется в форме листов, а укладывать их нужно внахлест. Есть такое понятие, как «полезная площадь» материала, поэтому нужно брать в расчет именно ее, а не фактические показатели. Если компания-производитель высокого уровня, то она обязательно отображает подобную информацию на упаковках.
Вот несколько рекомендаций, позволяющих приобрести необходимое количество материала:
- Длина постройки делится на ширину листа материала. К получившемуся значению необходимо прибавить еще 10%, которые пойдут на обрезку. Так мы узнаем точное число листов на всю ширину кровли.
- Значение длины ската делим на длину листа материала. Затем нужно прибавить 13%, что пойдет на нахлест при установке листов.
- Затем перемножаем число листов в ширину кровли и общее число рядов до карниза. Искомая цифра и будет являться общим количество листов шифера или металлочерепицы для конкретной кровли.
Расчет сложной крыши
В принципе, расчет всех параметров оказывается не таким уж сложным процессом, если следовать вышеизложенным рекомендациям.
Наш строительный калькулятор может произвести все расчеты за вас. Вам же остается только ввести данные длины, ширины, высоты и прочих показателей постройки, а также используемого кровельного материала.
Заключение
Правильный расчет параметров крыши необходим для приобретения нужного количества кровельного материала. Если у вас нет подробного плана дома, то все замеры придется проводить самостоятельно, используя рулетку, лестницу и прочие сопутствующие инструменты. Также не забывайте о том, что тип материала для кровли также иметь немаловажную роль, поэтому каждый расчет стоит проводить индивидуально.
Если вы не уверены в своих силах, то можно доверить это дело профессионалам, которые сделают всю работу за вас. Это практически беспроигрышный вариант, вот только если цена вопроса вас не сильно беспокоит.
В любом другом же случае можно немного поразмыслить и произвести индивидуальные рассчеты. Как видите, сделать это не так уж и сложно, зато вы сможете сэкономить деньги, которые после будут потрачены на те же материалы и не только.
Вконтакте
Google+
Одноклассники
Внимание! | Cloudflare
Почему я должен заполнять CAPTCHA?
Заполнение CAPTCHA доказывает, что вы человек, и дает вам временный доступ к веб-ресурсу.
Что я могу сделать, чтобы этого не произошло в будущем?
Если вы используете личное соединение, например, дома, вы можете запустить антивирусное сканирование на своем устройстве, чтобы убедиться, что оно не заражено вредоносными программами.
Если вы находитесь в офисе или в общей сети, вы можете попросить администратора сети запустить сканирование сети на предмет неправильно сконфигурированных или зараженных устройств.
Еще один способ предотвратить появление этой страницы в будущем — использовать Privacy Pass. Возможно, вам потребуется загрузить версию 2.0 прямо сейчас из Магазина дополнений Firefox.
.Сколько квадратных футов в пучке черепицы — Покрытие пучка
Некоторые крыши имеют легкую форму, например, длинная двускатная крыша в бунгало с одним большим прямоугольником в передней части дома и другим такого же размера в задней части дома. . Простое измерение длины, умноженной на ширину, и готово. Но есть и сложные крыши с сочетанием форм, плоскостей и поверхностей — прямоугольников, треугольников и, возможно, трапеции «для хорошей меры». Какой бы ни была форма или сложность вашей крыши, цель одна: измерить площадь всех поверхностей и сложить их вместе, чтобы получить общую площадь.
Другой вариант — измерить площадь верхнего этажа дома или, точнее, площадь мансарды. Если вы воспользуетесь этим методом, вам нужно будет учесть наклон крыши. Например, для очень крутой крыши на чердаке площадью 1000 квадратных футов потребуется больше черепицы, чем для более низкой наклонной крыши на чердаке того же размера.
Ваш кровельщик будет знать, что на более крутых крышах используется больше черепицы, чем на более низких наклонных крышах для дома того же размера, и для упрощения этого расчета существуют установленные коэффициенты множителя уклона (см. Таблицу ниже).Используя это значение и учитывая дополнительные выступы площади крыши на потолке, вы можете получить приличное приближение площади крыши, не выходя на крышу.
| НАКЛОН (ДЮЙМ НА НОЖУ) | ПЛОЩАДЬ / ГРАБЛИ |
|---|---|
| 4:12 | 1.054 |
| 5:12 | 1.083 |
| 6:12 | 1,118 |
| 7:12 | 1,157 |
| 8:12 | 1.202 |
| 9:12 | 1,250 |
| 10:12 | 1,3052 |
| 11:12 | 1,356 |
| 12:12 | 1,414 |
Чтобы использовать таблицу, просто умножьте прогнозируемую горизонтальную площадь на коэффициент преобразования для соответствующего уклона крыши. В результате получается фактическая площадь крыши.
Благодаря последним технологическим инновациям, новый вариант измерения кровли включает спутниковые изображения и / или изображения с дрона, которые при правильной калибровке могут дать точное измерение площади крыши.Один из таких сервисов доступен через EagleView Technologies. Кровельщики могут использовать эти инструменты, чтобы сэкономить время при подготовке оценок площади крыши, и даже могут экспортировать информацию в виде предложения о работе для домовладельцев.
Площадь крыши обычно обозначается в кровельной промышленности с использованием термина « квадрат », что означает просто 100 квадратных футов площади крыши . Хотя эту площадь также можно измерить в метрических единицах (квадратных метрах), чаще всего используются британские квадратные футы, и на них есть ссылки исключительно в этом блоге.
Битумная черепица обычно упаковывается с учетом этого, но если упаковка битумной черепицы покрывает всю площадь в 100 квадратных футов, она будет слишком тяжелой для обработки. Итак, самая популярная черепица продается такой, что для покрытия одного квадрата площади крыши требуется три пучка. Но будьте осторожны — не все марки черепицы упаковываются по три пучка на квадрат! Внимательно читайте этикетку, так как некоторым брендам требуется чуть больше трех связок, чтобы покрыть квадрат. Специальная черепица, такая как IKO Armourshake, тяжелее и поэтому упакована так, чтобы покрывать 20 квадратных футов на пучок или пять пучков на квадрат.
.Вычислить квадратный корень без калькулятора
Вы здесь: Главная → Статьи → Алгоритм извлечения квадратного корняБольшинство людей в современном мире считают, что, поскольку калькуляторы могут находить квадратные корни, детям не нужно учиться находить квадратные корни, используя какой-либо метод карандаша и бумаги. Однако изучение, по крайней мере, метода «угадай и проверь» для нахождения квадратного корня на самом деле поможет студентам ПОНИМАТЬ и запомнить саму концепцию квадратного корня!
Итак, даже если в вашем учебнике по математике тема поиска квадратного корня без калькулятора может полностью отсутствовать, подумайте о том, чтобы позволить студентам изучить и практиковать хотя бы метод «угадай и проверь».Поскольку на самом деле он имеет дело с КОНЦЕПЦИЕЙ квадратного корня, я бы счел его необходимым для обучения студентов.
В зависимости от ситуации и учащихся, метод «угадай и проверь» можно выполнить либо с помощью простого калькулятора, не имеющего кнопки квадратного корня, либо с помощью вычислений с использованием бумаги и карандаша.
Нахождение квадратного корня методом угадывания и проверки
Чтобы найти десятичное приближение, скажем, к √2, сначала сделайте первоначальное предположение, затем возведите его в квадрат и, в зависимости от того, насколько близко вы подошли, улучшите свое предположение.Поскольку этот метод включает возведение в квадрат предположения (умножение самого числа на само число), он использует фактическое определение квадратного корня , и поэтому может быть очень полезным при обучении концепции квадратного корня.
Пример: что такое квадратный корень из 20?
Вы можете начать с того, что заметите, что, поскольку √16 = 4 и √25 = 5, то √20 должно быть между 4 и 5.
Тогда угадайте √20; допустим, например, что это 4.5. Возведите это в квадрат, посмотрите, будет ли результат больше или меньше 20, и улучшите свое предположение на основе этого.Повторяйте этот процесс, пока не получите желаемую точность (количество десятичных знаков). Это так просто и может стать хорошим экспериментом для студентов!
Пример: найти √6 до 4 знаков после запятой
Поскольку 2 2 = 4 и 3 2 = 9, мы знаем, что √6 находится между 2 и 3. Давайте предположим (или оценим), что это 2,5. В квадрате получаем 2,5 2 = 6,25. Это слишком много, поэтому мы немного уменьшаем нашу оценку. Давайте попробуем 2.4 дальше. Чтобы найти квадратный корень из 6 до четырех знаков после запятой, нам нужно повторять этот процесс, пока у нас не будет пяти десятичных знаков, а затем мы округлим результат.
| Оценка | Площадь оценки | Высокая / низкая |
| 2,4 | 5,76 | Слишком низкая |
| 2,45 | 6,0025 | Слишком высокая, но очень близкая |
| 2,449 | 5,997601 | Слишком мало |
| 2.4495 | 6,00005025 | Слишком много, поэтому квадратный корень из 6 должен быть между 2.449 и 2.4495. |
| 2.4493 | 5.99907049 | Слишком низко |
| 2.4494 | 5.99956036 | Слишком мало, поэтому квадратный корень из 6 должен находиться между 2,4494 и 2,4495 |
| 2.44945 | 5.9998053025oo поэтому квадратный корень из 6 должен находиться в диапазоне от 2,44945 до 2,4495. |
Этого достаточно итераций, поскольку теперь мы знаем, что √6 будет округлено до 2,4495 (а не до 2,4494).
Нахождение квадратных корней по алгоритму
Существует также алгоритм вычисления квадратных корней, напоминающий алгоритм деления в столбик, и его учили в школах за несколько дней до появления калькуляторов. См. Пример ниже, чтобы узнать это. Хотя изучение этого алгоритма может не быть необходимым в современном мире с калькуляторами, разработка некоторых примеров может использоваться в качестве упражнения в основных операциях для учащихся средней школы, а изучение логики, лежащей в основе этого, может быть хорошим упражнением для мышления для учащихся старших классов.
Пример: Найдите √645 с точностью до одного десятичного знака.
Сначала сгруппируйте числа под корнем попарно справа налево, оставляя одна или две цифры слева (в данном случае 6). Для каждой пары чисел вы получите одну цифру квадратного корня.
Для начала найдите номер чей квадрат меньше или равен первой паре или первому числу, и напишите это над линией квадратного корня (2):Затем продолжайте так:
.Веб-страница не найдена на InspectApedia.com
.
Что делать, если ссылка на веб-страницу на InspectApedia.com приводит к ошибке страницы 404
Это так же просто, как … ну,
выбирая из 1, 2 или 3- Воспользуйтесь окном поиска InspectAPedia в правом верхнем углу нашей веб-страницы, найдите нужный текст или информацию, а затем просмотрите ссылки, которые наш пользовательский поисковая система Google возвращает
- Отправьте нам электронное письмо напрямую с просьбой помочь в поиске информации, которую вы искали — просто используйте ссылку СВЯЗАТЬСЯ С НАМИ на любой из наших веб-страниц, включая эту, и мы ответим как можно скорее.
- Используйте кнопку НАЗАД вашего веб-браузера или стрелку (обычно в верхнем левом углу экрана браузера рядом с окном, показывающим URL-адрес страницы, на которой вы находитесь), чтобы вернуться к предыдущей статье, которую вы просматривали. Если вы хотите, вы также можете отправить нам электронное письмо с этим именем или URL-адресом веб-страницы и сообщить нам, что не сработало и какая информация вам нужна.
Если вы действительно хотите нам помочь, используйте кнопку НАЗАД в своем браузере, затем скопируйте URL-адрес веб-страницы, которую вы пытались загрузить, и воспользуйтесь нашей ссылкой СВЯЗАТЬСЯ С НАМИ (находится как вверху, так и внизу страницы), чтобы отправьте нам эту информацию по электронной почте, чтобы мы могли решить проблему.- Спасибо.
Приносим свои извинения за этот SNAFU и обещаем сделать все возможное, чтобы быстро ответить вам и исправить ошибку.
— Редактор, InspectApedia.com
Задайте вопрос или введите условия поиска в поле поиска InspectApedia чуть ниже.
Мы также предоставляем МАСТЕР-ИНДЕКС по этой теме, или вы можете попробовать верхнюю или нижнюю панель ПОИСКА как быстрый способ найти необходимую информацию.
Зеленые ссылки показывают, где вы находитесь. © Copyright 2017 InspectApedia.com, Все права защищены.
Издатель InspectApedia.com — Дэниел Фридман .Квадратура Гаусса (Выберите метод) Калькулятор
- Цель использования
- Двойная проверка ручных вычислений для класс.
[1] 2021/04/15 02:39 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /
- Комментарий / запрос
- Пожалуйста, включите рассчитанные веса и узлы.
[2] 2020/03/16 04:25 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Немного /
- Цель использования
- resolução
- Комментарий / Запрос
- faltou as resoluções
[3] 2018/07/15 19:04 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /
- Цель использования
- Интегрировать тетраэдр
- Комментарий / Запрос
- I Интересно, есть ли различия в результатах для квадратуры G-Якоби в функции (1 + x) ^ alpha и просто x ^ alpha с точки зрения получения узлов и весов.
[4] 2017/01/20 16:19 Уровень 40 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /
- Цель использования
- Обучение численному анализу ….
- Комментарий / Запрос
- Этот сайт очень полезен
[5] 2015/04/16 22:29 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /
- Цель использования
- Изучение численного анализа ….
[6] 2015/04/16 22:29 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /
- Цель использования
- Курс численного анализа, реализация для упражнения
[7] 2015/03/06 09:36 Уровень 60 и старше / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень /
- Цель использования
- Исследование
- Комментарий / Запрос
- очень хорошо
[8] 2014/10/16 14:41 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /
- Цель использования
- Для академической учебы.
- Комментарий / запрос
- Это будет полезно, если в интегральные калькуляторы добавить двумерные (2-D) и 3-мерные вычисления.
Best Ragards
[9] 28.05.2013 12:56 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Высшее образование nt / Very /
Вычисление узлов и весов квадратурного правила Гаусса с использованием метода Якоби
% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 2 0 obj > транслировать 2011-02-18T10: 18: 36Z2011-02-18T10: 11Z2011-02-18T10: 18: 36ZTeXapplication / pdf
Дельта-кванты — Квадратура Гаусса
Квадратура Гаусса — Интегрирование Лежандра Гаусса
Часто в области количественных финансов требуется применять численное интегрирование для получения значений риска или оценки, которые в противном случае были бы невозможны, поскольку решения в закрытой форме для этих интеграций не существуют.Для этого существует несколько вариантов численных методов. Примеры включают трапецеидальные, булевые и гауссовские квадратуры. Квадратура Гаусса — вероятно, самый популярный метод на практике сегодня. Эта статья посвящена интегрированию Гаусса-Лежандра, которое применяется для численного вычисления определенных интегралов.
Давайте сначала кратко поговорим о полиномах Лежандра:
Полиномы Лежандра
Рассмотрим рекурсивные уравнения 1 и 2 ниже.
Применяя уравнение 2 для n = 1, получаем 2P2 (x) = 3xP 1 (x) — P 0 (x) (3)
Решая (3) имеем,
Аналогично, для n = 2 получаем 3P 3 (x) = 5xP 2 (x) -2P 1 (x) или 3P 3 (x) = 15 / 2x 2 — 5 / 2x-2x
, что приводит к,
Первые пять легендарных поиномов приведены в таблице ниже
.Таблица 1: Первые пять полиномов легендера
Корни функций Лежандра
Существует довольно много алгоритмов решателя, которые можно использовать для нахождения корня многочлена.К ним относятся такие методы, как Bisection, Newton, Brent и т. Д. Здесь нам, однако, нужна схема для вычисления всех корней этих многочленов Лежандра. Ниже приводится примерная схема:
Предположим, у нас есть легендарный многочлен P (x), нам нужны все корни, такие как P (x) = 0.
1. Найдите первый корень (R 1 ) P (x) с помощью решателя (Биссектриса, Ньютон и т. Д.)
2. Найдите многочлен f (x) такой, что f (x) * (x-R 1 ) = P (x).
3. С помощью решателя найдите следующий корень (R 2 ).
4. Найдите f ‘(x) такое, что f’ (x) * (xR 2 ) = f (x) или, (xR 1 ) * (xR 2 ) * f ‘(x) = P (х)
И так далее ..
Совет: при использовании метода Ньютона некоторые авторы предлагают использовать x = Cos (Pi * (4 * i + 3) / (4 * n + 2)), где i — корневое число, а n — степень полинома. Это первоначальное предположение эффективно сходится.
Вычисление f (x) такое, что f (x) * (x — R 1 ) = P (x)
Скажем, у нас
(1),
(2)
(3)
, и нам нужно узнать коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , a 3 …так далее.
решая (3) получаем,
, что упрощается до
, (4)
и, (5)
(6)
2-х балльное правило интеграции Гаусса-Лежандра
Двухточечное правило интегрирования Гаусса-Лежандра показано в уравнении (7) ниже:
(7)
, где x 1 и x 2 — абсциссы, а w 1 и w 2 — веса для двухточечного правила интегрирования Гаусса-Лежандра. Абсциссы для правила n точек — это корни функции Лежандра степени n.Например, для правила двух точек у нас есть функция Лежандра. Корни уравнения P 2 (x) = 0, следовательно, являются абсциссами для двухточечного правила Гаусса-Лежандра.
Далее корни функции Лежандра степени 2 (см. Таблицу 1 выше) показаны ниже.
(8)
Чтобы найти веса w 1 и w 2 , нам нужны два уравнения взаимосвязи. Итак, мы используем наши знания об определенной интеграции 1 и x, что дает нам следующие два отношения.
(9)
или, (10)
(11)
Подставляя (11) в (7), получаем
(12)
Применение 2-х балльного правила Гаусса-Лежандра
Пример 1:
Возьмем так, что двухточечное приближение Гаусса-Лежандра выглядит следующим образом:
или,
, где точное решение — 0,74682413281243
Пример 2: Оценить
Правило двух точек приводит к
, так что приближенное решение с использованием правила двух точек равно
, где точное решение ln (3) — ln (1) = 1.09861228866811.
4-точечное правило интеграции Гаусса-Лежандра
Абсциссы и веса для правила 4 баллов следующие:
x1 = -0,339981043584856, x2 = -0,861136311594053, x3 = 0,339981043584856 и x4 = 0,861136311594053.
w1 = 0,652145154862546, w2 = 0,347854845137454, w3 = 0,652145154862546 и w4 = 0,347854845137454.
Пример 3: Давайте вернемся ко второму примеру, так что нам нужно оценить, используя 4-точечное правило Гаусса-Лежандра.
Применяя правило четырех точек, получаем
Подставив указанные выше значения весов и абсцисс, получим. Мы замечаем, что правило 4-х баллов дает более точный результат, чем правило 2-х баллов.
N-точка, правило интеграции Гаусса-Лежандра
До сих пор мы видели применение 2-х и 4-х точечных правил интегрирования Гаусса-Лежандра. Обобщение правила интегрирования более высокого порядка выглядит следующим образом: (13)
, где x i s и w i s — абсциссы и веса, применимые для правила N точек.Таблица для правила Гаусса-Лежандра более высокого порядка доступна по ссылке ниже.
Просмотр абсцисс Гаусса-Лежандра и весов квадратур Гаусса-Лежандра более высокого порядка.
Правило более высокого порядка обычно дает лучшее приближение к требуемому интегрированию. В таблице 2 ниже показано, как улучшаются результаты расчета по мере перехода к правилам Гаусса-Лежандра более высокого порядка. Правило 32 или 64 балла достаточно для большинства реальных случаев.
| Заказ (№) | Приближение Гаусса Лежандра | Ошибка (%) |
|---|---|---|
| 2 | 1.0009 | 0,70118% |
| 4 | 1.09857035364936 | 0,00382% |
| 8 | 1.09861228751918 | 0,000000105% |
| 16 | 1.09861228866810 | 0,0000000000011% |
Таблица 2: Сравнение квадратуры Гаусса Лежандра различных порядков.
Изменение интервалов для определенных интегралов
Любой определенный интеграл по [a, b] может быть заменен на интеграл по интервалу [-1,1] по следующей формуле:
Следовательно, для вычисления определенного интеграла по любому произвольному ограниченному диапазону [a, b] используйте следующую формулу:
, где x i s и w i s — абсциссы и веса, применимые для правила N точек.
Особенности и интеграция Гаусса-Лежандра
Если есть особенности в границах [a, b], правило Гаусса Лежандра с фиксированной точкой может привести к неверным результатам, и, следовательно, его следует избегать.Например, точное решение равно -2, тогда как правило двух точек дает ответ 6.
Квадратура Гаусса-Лагерра — 1,74,0
В этом примере используется Boost.Multiprecision.
реализовать высокоточное квадратурное интегрирование Гаусса-Лагерра.
Квадратура используется для вычисления функции airy_ai (x) для действительных значений x на положительной оси с x> = 1 .
Таким образом, интегральное представление можно рассматривать как часть схемы для вычисления действительных функций Эйри на положительной оси для среды к большому аргументу.Ряд Тейлора или гипергеометрическая функция (не этого примера) можно использовать для аргументов меньшего размера.
Этот пример был протестирован с количеством десятичных цифр в диапазоне от
21 … 301, настроив параметр local :: my_digits10 во время компиляции.
Квадратурное интегральное представление airy_ai (x) , используемое в этом примере, можно найти в:
А.Гил, Дж. Сегура, Н.М. Темме, «Численные методы для специальных функций» (SIAM Press 2007), ISBN 9780898717822, разд. 5.3.3, в частности формула. 5.110, стр. 145.
Впоследствии в книге Гила и др. Цитируется другая работа: W. Gautschi, «Computing». функций Бесселя и Эйри и соответствующих квадратурных формул Гаусса », BIT, 42 (2002), стр. 110-118, https://doi.org/10.1023/A:1021974203359 который также доступен как Gautschi_169.pdf.
Эта квадратура Гаусса-Лагерра разработана для airy_ai (x) с действительным знаком x
> = 1 .
В примере используется квадратурное интегрирование Гаусса-Лагерра для вычисления airy_ai (x / 7) с 7 <=
х <=
120 и где x увеличивается с шагом 1.
В ходе разработки этого примера мы эмпирически нашли числа коэффициентов Гаусса-Лагерра, необходимых для сходимости при использовании различных количество цифр по основанию 10.2 + 0,235487 д - 1,28301 или -1,28301 + (0,235487 + 0,0000178915 г) г
Нам нужно значительно больше коэффициентов при меньших реальных значениях, чем
требуется при больших реальных значениях, потому что производная наклона airy_ai (x) становится более крутым, когда x приближается к нулю. laguerre_order рассчитывается с использованием этого уравнения.
Фрагменты (обильного) вывода из индикатора выполнения во время расчета приблизительных оценок корня с последующим вычислением точной абсциссы и вес:
std :: numeric_limits:: digits10: 101 laguerre_order: 2291 Нахождение примерных корней... root_estimates.size (): 1, 0,0% root_estimates.size (): 8, 0,3% root_estimates.size (): 16, 0,7% ... root_estimates.size (): 2288, 99.9% root_estimates.size (): 2291, 100.0% Расчет абсцисс и весов. Обработано 1, 0,0% Расчет абсцисс и весов. Обработано 9, 0,4% ... Расчет абсцисс и весов. Обработано 2289, 99,9% Расчет абсцисс и весов. Обработано 2291, 100,0%
Наконец, результат, полученный с использованием квадратуры Гаусса-Лагерра, сравнивается с
расчет по cyl_bessel_k ,
и оба перечислены, наконец, подтверждая, что ни один из них не отличается более чем на
малая толерантность.
airy_ai_value: 0.1352924163128814155241474235154663061749441429883307060054757633534802265723663487109867334 airy_ai_control: 0.1352924163128814155241474235154663061749441429883307060054757633534802265723663487109868323 airy_ai_value: 0.113923021260096211021059693500086750049240884734708541630001378825889924647699516200868335286103 airy_ai_control: 0.113923021260096211022 } →….Несмотря на то, что процедура Стилтьеса ведет себя лучше, чем явное вычисление, она также имеет тенденцию быть умеренно плохо обусловленной (Press, Teukolsky et al. 1997) и, следовательно, имеет ограниченную ценность. В качестве альтернативы алгоритм Сака-Донована-Уиллера (Press, Teukolsky et al. 1997) был предложен как способ преодоления числовой нестабильности, присущей процедуре Стилтьеса, путем использования модифицированных моментов, а не исходных моментов в уравнениях (4) и (5). ). Обратной стороной алгоритма Сака-Донована-Уиллера является его использование априори выбора «хорошего» полиномиального базиса для моментов w ( x ), что само по себе является довольно сложной и субъективной процедурой, которая является зависит от эвристической аппроксимации моментов w ( x ).Формирование такого приближения может оказаться сложнее, чем решение исходной задачи.105969350008675004924088473470854163000137882588992464769951620086833528582 ... airy_ai_value: 3.89982303275013276114626640705170145070824317976771461533035231088620152288641360519429331427451e-22 airy_ai_control: 3.89982303275013276114626640705170145070824317976771461533035231088620152288641360519429331426481e-22 Итого ... result_is_ok: trueПодробнее см. Комментарии в исходном коде этого примера по адресу gauss_laguerre_quadrature.cpp.
Квадратурных формул Гаусса для произвольных положительных показателей
Evol Bioinform Online.2006; 2: 251–259.
Опубликовано в Интернете 15 февраля 2007 г.
Эндрю Д. Фернандес
1 Программа для аспирантов по биоматематике
2 Центр вычислительной биологии
Уильям Р. Эчли
1 9119 9119 9119 9119 9119 9118 2 Центр вычислительной биологии
3 Кафедра генетики, Университет штата Северная Каролина Роли, Северная Каролина 27695-7614
1 Программа бакалавриата по биоматематике
2 Центр вычислительной биологии Genetics, Университет штата Северная Каролина Роли, NC 27695-7614
Эта статья цитируется в других статьях в PMC.Abstract
Мы представляем вычислительные методы и подпрограммы для вычисления формул квадратурного интегрирования Гаусса для произвольных положительных мер. Для дорогостоящих интегралов, которые можно разложить на известные формы, квадратурные схемы Гаусса позволяют эффективно оценивать числовые интегралы с высокой точностью и точностью, особенно по сравнению с общими схемами ad hoc . Кроме того, для некоторых хорошо известных мер плотности (нормальный, гамма, логнормальный, t Стьюдента, обратная гамма-гамма, бета и F Фишера) мы представляем точные формулы для вычисления соответствующей квадратурной схемы.
Мотивация
Эта статья посвящена эффективному и точному вычислению интегралов правдоподобия вида
Pr (H | D) ∝∫h∈HPr (D | h) · Pr (h) dh,
(1 )
путем построения квадратурной схемы гауссова типа, оптимизированной специально для известного априорного распределения Pr ( h ). Наша конкретная мотивация проистекает из исследований молекулярной эволюции белковых последовательностей, где важно принимать во внимание вариации скорости эволюции между сайтами при выводе филогении.В контексте этой конкретной проблемы как Felsenstein (2001; Felsenstein, 2004), так и Mayrose et al. (2005) указали, что квадратурные формулы Гаусса могут использоваться для обеспечения более точных и быстро сходящихся методов численного интегрирования, чем более распространенный метод «равных процентилей» Янга (1994). К сожалению, квадратурные формулы гауссовского типа были получены только для относительно небольшого числа априорных распределений. В контексте молекулярной эволюции двумя наиболее распространенными априорными функциями являются гамма-распределение и логнормальное распределение.Квадратурные формулы Гаусса для гамма-распределения уже известны как «Обобщенная квадратура Гаусса-Лагерра» (Felsenstein, 2001), хотя, по общему признанию, математическое сходство между этими схемами не очевидно при обычной формулировке квадратур Гаусса-Лагерра. Таким образом, их эквивалентность обычно не оценивается. К сожалению, до сих пор явные квадратурные формулы Гаусса не были доступны для логнормальных (или других) априорных значений, обычно используемых в вычислительной биологии.
Цель этой статьи - предоставить эффективный и быстрый алгоритм с сопутствующей компьютерной библиотекой, который позволяет вычислять квадратурные правила Гаусса для произвольных априорных распределений.В некоторых случаях мы выводим аналитические формулы для конкретных общих распределений. Хотя мы мотивированы конкретным применением к интегралам, найденным в области молекулярной эволюции, мы подчеркиваем, что наши методы (и компьютерный код) применимы для решения задач численного интегрирования в целом.
Постановка проблемы
Мы хотим найти набор i = 0, 1, 2,…, ( n -1) весов w i и абсцисс x i так, что приближение
∫abw (x) · f (x) dx≈∑i = 0n-1wi · f (xi)
(2)
является точным, если f является полиномом степени 2 n - 1 или меньше, а w ( x ) - известная «весовая функция».В нашем случае w ( x ) представляет собой положительную меру плотности нашей априорной вероятности. Хороший и полный современный справочник по теории гауссовских (и родственных) типов квадратурных правил можно найти в Gautschi (2004). Если f разложить как полиномиальный ряд, осмотр предполагает, что любая квадратурная схема будет зависеть от исходных моментов w ( x ). Действительно, определение (реального) внутреннего продукта
〈 f | г 〉 = ∫ f ( x ) г ( x ) · w ( x ) d x ,
хорошо известно, что всегда существует набор многочленов, ортогональных по отношению к этому внутреннему произведению, такой, что
p-1 = 0, p0 = 1pi + 1 (x) = (x-ai) · pi (x ) -bi · pi-1 (x), i = 0,1,2,…
(4)
и где коэффициенты повторяемости a i и b i can вычисляться явно из
ai = 〈x · pi | pi〉 〈pi | pi〉, i = 0,1,2,… bi = 〈pi | pi〉 〈pi-1 | pi-1〉, i = 1 , 2,…
(5)
с коэффициентом b 0 произвольным и установленным по соглашению так, что b 0 = ∫ w ( x ) dx. Следовательно, первые n пар коэффициентов рекурсии однозначно определяются первыми 2 n моментами меры w . Как только коэффициенты a i и b i известны, их можно собрать в трехдиагональную матрицу Якоби
J = [a0b1b1a1b2b2⋱⋱⋱⋱bn-2bn-2an-2bn-2an-2bn-2an 1бн-1ан-1].
(6)
Желаемые абсциссы x i тогда равны собственным значениям Дж , а желаемые веса задаются соотношением
, где q i, i, 0 - первая компонента нормализованного собственного вектора q i матрицы J .
Методы решения
Известны формулы, которые явно выражают коэффициенты рекурсии a j и b j в терминах исходных моментов w . К сожалению, эти явные представления крайне плохо обусловлены и, следовательно, не могут использоваться даже для «хорошо настроенных» весовых функций или квадратурных схем довольно низкого порядка n . Если интегралы уравнения (5) могут быть вычислены эффективно и точно, процедура Стилтьеса вычисляет коэффициенты рекурсии посредством итеративного применения уравнений (4) и (5), формируя последовательность { p -1 , p 0 } → { a 0 , b 1 } → { p 1 } → { a 1 , b 2 } → {
0 pНедавно был предложен универсальный и безусловно устойчивый алгоритм для вычисления гауссовских весов и абсцисс для любой положительной меры (Гандер и Карп, 2001). Метод основан на наблюдении (Boley and Golub, 1987), что дискретная мера
ωm (x) = ∑i = 0m-1ωi · δ (x-ξi)
(8)
может иметь свои веса и абсциссы, собранные в разреженную матрицу
Wm = [1ω0ω1 ⋯ ωm-2ωm-1ω0ξ1ω1ξ2 ⋮ ⋱ωm-2ξm-2ωm-1ξm-1]
(9)
, которая ортогонально похожа на матрицу Якоби 9м4
= [1b0b0a0b1b1a1b2b2⋱⋱⋱⋱bm-2bm-2am-2bm-1bm-1am-1],
(10)
, где b 0 - ω м 9014 весь домен ω м .Гандер и Карп показали, что если последовательность дискретных мер, заданная уравнением (8), сходится к данной непрерывной мере, такой что limm → ∞ωm (x) = w (x), тогда J m аналогичным образом сходится к рекуррентным коэффициентам непрерывной меры. Такая конвергенция уже была отмечена и использована несколькими годами ранее в программном пакете OrthPol (Gautschi, 1994). Повторная реализация, модернизация и модификация некоторых алгоритмов Гаучи составляют основу нашей работы.Чтобы продолжить, учитывая J m , стандартные алгоритмы собственного разложения для симметричных трехдиагональных матриц можно использовать для вычисления квадратурных весов и абсцисс Гаусса для данной весовой функции. Таким образом, веса и абсциссы произвольной положительной меры w ( x ) могут быть определены путем первого нахождения дискретного ω m ( x ), что приблизительно равно w ( x ) «достаточно хорошо», используя алгоритм редукции Ланцоша для преобразования W m → J m , одновременно получая коэффициенты рекурсии { a i i }, а затем собственное разложение J m для определения окончательных весов и абсцисс { x i , w i ).
Детали алгоритма
Детали реализации всего процесса, начиная с заданной весовой функции и заканчивая набором гауссовских квадратурных весов и абсцисс, лучше всего поясняются на рабочем примере. Предположим, нам дана весовая функция w ( x ) ∝ e - x , x ≥ 0, где мы не знаем константу нормализации 1 / ∫ w ( x ) dx и не распознают e - x как весовую функцию для хорошо известной квадратурной схемы Гаусса-Лагерра.Нашим первым шагом является выбор последовательности мер в соответствии с уравнением (8), которая сходится к мере e - x dx . Следуя Гаучи (1994), мы используем классическую схему численного интегрирования для аппроксимации ∫ w ( x ) dx , а именно правило интегрирования Фейера типа 2 (Гаучи первоначально использовал правило Фейера типа 1). Правила интегрирования Фейера очень похожи на хорошо известные правила интегрирования Кленшоу-Кертиса в области z ∈ [−1,1].Однако правила Фейера являются открытыми, не требуют оценки на конечных точках домена и поэтому больше подходят для мер с некомпактной поддержкой. Правила Фейера типа 2 также имеют преимущество в эффективности по сравнению с правилами типа 1 в том, что абсциссы типа 2 с точками n являются чередующимися подмножеством абсцисс типа 2 с точками (2 n +1). Следовательно, правила типа 2 позволяют нам повторно использовать все ранее вычисленные ординаты, когда количество точек интегрирования удваивается.Наконец, интегральные веса типа 2 Фейера можно очень быстро вычислить с помощью реального обратного быстрого преобразования Фурье (Waldvogel 2006), что позволяет эффективно использовать большое количество точек для аппроксимации ∫ w ( x ) dx . Поставляемая подпрограмма fejer2_abscissae вычисляет требуемые абсциссы и веса интегрирования { z i , q i } для заданного количества абсцисс i = 0, 1, 2,…
- 1).Трансформация g (z) = (1 + z) (1-z) используется через подпрограмму map_fejer2_domain , чтобы отобразить z ∈ (−1,1) → x ∈ (0, ∞) и изменить переменную интегрирования так, чтобы ∫ 0 ∞ e - x dx = ∫ −1 +1 e - g ( z ) g 14 dz (1 1 z) конечные абсциссы и веса { ξ i , ω i } для уравнения (9), где ξ i = г ( z z ) и ω i = q i · w ( g ( zi )). г ′ ( г i ). Обратите внимание, что подпрограмма map_fejer2_domain может отображать интервал Фейера на другие произвольные конечные и нефинитные интервалы домена в дополнение к конкретному преобразованию g ( z ), используемому здесь.Трехдиагонализацию W м в уравнении (9) до J м в уравнении (10) можно выполнить с помощью подпрограммы lanczos_tridiagonalize , подпрограмма, которая использует разреженную структуру уравнения (9) через алгоритм Ланцоша (Голуб и Ван Лоан, 1996) для эффективной трехдиагонализации.Наконец, собственное разложение J m в уравнении (10) и последующее вычисление окончательного квадратурного правила Гаусса для w ( x ) с помощью уравнения (7) выполняется с помощью подпрограммы gaussqr_ from_rcoeffs , где собственное разложение выполняется с использованием модифицированного алгоритма QL с неявным сдвигом. Обратите внимание, что коэффициент b 0 вернулся из lanczos_tridiagonalize оценки ∫ w ( x ) dx для заданных м .Таким образом, мы можем установить b 0 = 1 перед вызовом gaussqr_from_rcoeffs для нормализации w ( x ) без явного знания или вычисления фактического коэффициента нормализации. Во многих случаях это может значительно ускорить вычисление w ( x ). Для распространенных распределений, таких как нормальное, гамма, логарифмически нормальное и других, функция полезности standard_distribution_rcoeffs предоставляется для прямого вычисления коэффициентов рекурсии.
Наконец, мы должны убедиться, что м достаточно велик, чтобы ω м ( x ) приблизительно w ( x ) достаточно близко, чтобы в дальнейшем гарантировать, что i = 0 , 1, 2,… ( n - 1) < м вычисленная квадратурная точка { x i , w i } coverge. Подпрограмма relative_error вычисляет максимальную относительную ошибку между двумя своими векторными аргументами.Поскольку w i гарантированно будет положительным для всех неотрицательных мер w ( x ), достаточно (и упрощает дело) проверить сходимость w i без явного Что касается схождения x i .
Подробности реализации
При использовании представленных подпрограмм в общей процедуре есть несколько тонкостей, которые можно использовать для решения нестандартных ситуаций или повышения вычислительной эффективности.Во-первых, отметим, что дискретная мера, обозначенная уравнением (8), может использоваться для аппроксимации любого конечного объединения непересекающихся интервалов. Например, если мы хотели использовать (предположительно надуманную) неявную весовую функцию
w (x) ∝ {ex, 0≤x <11 / x2,1≤x
(11)
сверх поддержки 0 ≤ x . Или подпрограммы могут применяться дважды, по одному разу для каждого непрерывного интервала, что дает два приближения с дискретной мерой, каждое с приближенным согласным с нормализацией.Затем две дискретные меры могут быть объединены в набор абсцисс и весов { ξ i , ω i }, которые затем будут подвергнуты процедуре тридиагонализации Ланцоша для определения рекурсии. коэффициенты уравнения (11). Обратите внимание, что нормализация уравнения (11) вычисляется «на лету» и, следовательно, обеспечивает большую гибкость при выборе весовой функции w ( x ). Кроме того, обратите внимание, что примерная весовая функция уравнения (11) не является даже непрерывной при x = 1.
Во-вторых, отметим, что вычисление схемы интеграции м -узла Фейера типа 2 выполняется путем выполнения реального обратного быстрого преобразования Фурье размера ( м + 1). Хотя предоставленная подпрограмма способна вычислять обратные преобразования Фурье почти произвольного размера, преобразование эффективно только , если ( m + 1) имеет делители из набора {2, 3, 4, 5}. Для дальнейшего повышения эффективности отметим, что узлы Фейера типа 2 легко вычислить с помощью
zi = cos ((i + 1) · πm + 1), i = 0,1,…, (m-1),
(12)
подразумевает, что м 1 -точка и м 2 -точечная схема интеграции будет иметь общие абсциссы, если ( м 1 +1) и ( м 2 + 1) имеют общий делитель.Наличие общих абсцисс означает, что ранее вычисленные значения w ( g ( z i )) могут быть повторно использованы при увеличении м , таким образом увеличивая эффективность приближения w ( x ) . Поэтому рекомендуемая последовательность м для fejer2_abscissae следует за {3,7,15,31,63,…}. Для очень простых весовых функций с хорошим поведением может быть предпочтительнее просто использовать м из нескольких сотен или нескольких тысяч и не слишком беспокоиться о сходимости, когда м мало.Такой подход может быть указан при предварительном вычислении квадратурных схем для параметризованного семейства весовых функций; например, параметр формы среднеквадратичного гамма-распределения. Вместо того, чтобы определять квадратурные точки для каждого желаемого параметра формы, может иметь смысл предварительно вычислить веса и абсциссы как функции параметра формы при определенных значениях параметров, а затем интерполировать квадратурную схему для всех «промежуточных» значений параметров. Очевидно, что узлы и веса Фейера также могут быть вычислены заранее.
Могут возникнуть ситуации, когда полезно знать аналитическую форму коэффициентов рекурсии конкретной весовой функции. В частности, повторяемость хорошо известных функций плотности часто может быть определена с помощью процедуры Стилтьеса, и репрезентативная выборка таких функций показана в. Коэффициенты рекурсии, вычисленные из этой таблицы, могут быть переданы непосредственно в подпрограмму. gaussqr_from_rcoeffs , хотя лучшая числовая стабильность может быть достигнута путем аппроксимации этих плотностей через standard_distribution_rcoeffs .Обратите внимание, что квадратурные схемы Гаусса могут существовать не для всех распределений при всех значениях параметров. В этих случаях отсутствие квадратурной схемы связано с отсутствием релевантных моментов высших порядков распределения. В любом случае следует проявлять осторожность при использовании этих распределений, чтобы ошибка численного усечения непреднамеренно не стала слишком большой. Наконец, как показано, часто можно извлечь общий множитель λ из коэффициентов рекурсии. Такой общий коэффициент просто масштабирует собственные значения J m , оставляя только собственные векторы, и, таким образом, его можно безопасно игнорировать перед разложением на собственные.
Таблица 1
Точные коэффициенты рекурсии для выбранных распределений вероятностей. Для уравнений (6) и (7) мы масштабируем коэффициенты рекурсии так, чтобы a i = λ · a ′ i и b i = λ 2 · b ′ i . Обратите внимание, что для коэффициентов рекурсии n должны существовать как минимум первые 2 момента n .Существует также особый случай для бета-распределения: a 0 = 1/2, когда α = β = 1 (равномерное распределение).
В заключение напомним, что наш выбор точек интегрирования Fejér Type-2 для вычисления аппроксимации limm → ∞ωm (x) = w (x) является совершенно произвольным, и другие схемы интегрирования могут быть более подходящими с учетом другого семейства весовых функций. Например, простой подход «равного процентиля» 1/ м , напоминающий Янга (1994), может быть более эффективным, чем схема Фейера для весовых функций с многочисленными резкими пиками.Кроме того, рационально-квадратурные схемы могут быть лучшим выбором для мер с полюсами вблизи опоры меры (Gautschi, 1999; Weideman and Laurie, 2000; Van Deun, Bultheel et al. 2006). В любом случае, схема Фейера типа 2, используемая здесь, должна оказаться адекватной для большинства общих весовых функций, используемых сегодня в вычислениях правдоподобия.
Руководство по использованию
Для построения набора квадратурных абсцисс и весов необходимо сделать два приближения. Во-первых, необходимо выбрать количество дискретных точек, которые будут использоваться для аппроксимации весовой функции.Во-вторых, необходимо выбрать количество квадратурных точек для вычисления окончательного интеграла правдоподобия. В этом разделе мы даем рекомендации о том, как выбрать подходящее количество баллов в каждом конкретном случае.
Во-первых, аппроксимируя w ( x ) дискретной мерой, мы используем эффективность, присущую БПФ, и разреженную структуру матриц W m и J m , чтобы быстро и эффективно приблизительно w ( x ) с тысячами (1023, 2047 или более) точками.Например, использование 1023 точек для аппроксимации стандартного распределения N (0, 1) приводит к квадратурным коэффициентам, скорректированным с точностью до одной части в 2 × 10 −15 (предел машинной точности), которые можно вычислить в незначительной степени. время по сравнению со всеми, кроме самых тривиальных расчетов филогенетического правдоподобия.
Рекомендации по второму случаю - количеству используемых квадратурных точек - дать сложнее из-за основного свойства сходимости гауссовской квадратуры: скорость сходимости критически зависит от того, насколько хорошо подынтегральное выражение может быть аппроксимировано полиномом.Чем лучше приближение, тем быстрее сходимость. К сожалению, верно и обратное; функции, которые плохо аппроксимируются полиномами, могут иметь худшие характеристики сходимости , чем другие схемы численного интегрирования. Лучшее руководство по выбору количества квадратурных точек для конкретного подынтегрального выражения может быть получено методом проб и ошибок: продолжайте увеличивать количество точек, пока не будет достигнута числовая сходимость. Этот эмпирический подход «попробуй и посмотри» был использован Yang (1994), Mayrose et al.(2004), среди прочих, и его обычно рекомендуют.
В попытке предоставить более конкретный пример того, как квадратура Гаусса работает в выборке подынтегральной функции из исследований молекулярной эволюции, рассмотрим один сайт выравнивания четырех последовательностей, где все нуклеотиды различны (по одному для каждого из A, C, G и T ), и мы знаем a priori , что все четыре последовательности имеют неизвестного общего предка на одну единицу времени в прошлом. Предполагая, что нормализованная модель эволюции Джукса-Кантора (1969) дает функцию правдоподобия
f (r) ∝ (1 + 3 · e-43r) (1-e-43r) 3
(13)
для учитывая скорость эволюции р .Мы предполагаем единичную пропорциональность для удобства. Далее предполагая, что ставки распределены в соответствии с среднеквадратичным гамма-распределением с коэффициентом вариации 2 приводит к весовой функции
w ( r ) = 4 · r · e -2 r .
(14)
Вероятность наших данных с учетом нашей модели может быть затем рассчитана аналитически, в результате чего
∫0∞h (r) dr = 3008053361≈0,5637076,
(15)
, где
h ( r ) = w ( r ) · f ( r ).
(16)
График, изображающий относительные формы f , g и h , показан на. График зависимости между количеством квадратурных точек и относительной погрешностью интеграла в уравнении (15) показан на рис. Семь квадратурных точек приводят к относительной ошибке около 0,15%, а двадцать точек приводят к относительной ошибке около 1,1 × 10 -6 %. Обратите внимание, что семь или более квадратурных точек ограничивают асимптотическую область для численной сходимости, где ошибка уменьшается полиномиально с количеством квадратурных точек.
Графическое изображение относительных форм Уравнений (13), (14) и (16).
Число квадратурных точек в зависимости от относительной ошибки в задаче интегрирования эволюции молекул образца.
Подробное рассмотрение случая двадцати квадратурных точек показывает интересную оптимизацию, которая применяется к функциям правдоподобия, таким как уравнение (13), где правдоподобие приближается к постоянному значению, когда его аргумент приближается к бесконечности. Напомним, что квадратурные схемы Гаусса предназначены для оптимального интегрирования многочленов p ( x ), и этот комплексный анализ говорит нам, что для многочленов | p ( x ) | → ∞ при | x | → ∞.Для w ( x ) · p ( x ) для интеграции, | w ( x ) | → 0 относительно быстро при | x | → ∞. Следовательно, мы ожидаем, что квадратурный вес w i быстро станет очень маленьким по мере увеличения величины его соответствующей абсциссы x i . Иллюстрация величин { x i , w i } для квадратурной схемы из двадцати точек для нашего примера h ( r ), приведенного выше, показана на.Обратите внимание, что после суммирования первых десяти-двенадцати абсцисс вклад оставшихся восьми-десяти точек будет незначительным; схема интегрирования предполагает, что f ( r ) будет полиномиально большим, хотя на самом деле он почти постоянный. Таким образом, мы можем получить преимущества точности использования двадцатиточечного интегратора, неся при этом затраты только на десять вычислений f ( r ).
Гауссовские квадратурные веса и абсциссы n = 20 для точек для задачи интегрирования молекулярной эволюции образца.
Благодарности
Авторы выражают благодарность Джеффу Торну и Джозефу Фельзенштейну за полезные комментарии и предложения во время рецензирования рукописи. Финансовую поддержку оказали Национальный институт здоровья (GM45344) и Государственный университет Северной Каролины.
Сноски
Доступность: Исходный код находится в свободном доступе в Интернете в виде C-линкованной библиотеки ISO C ++ под лицензией BSD на сайте http://www.fernandes.org/gaussqr. Библиотека может быть построена с использованием арифметики с одинарной, двойной или увеличенной точностью.
Литература
- Болей Д., Голуб Г.Х. «Обзор матричных обратных задач на собственные значения» Обратные задачи. 1987. 3 (4): 595–622. [Google Scholar]
- Фельзенштейн Дж. «Учет вариации темпов эволюции между сайтами при выводе филогении» Журнал молекулярной эволюции. 2001. 53 (4–5): 447. [PubMed] [Google Scholar]
- Фельзенштейн Дж. Вывод филогении Сандерленд, Массачусетс, США, Sinauer Associates; 2004. [Google Scholar]
- Gander MJ, Karp AH.«Устойчивое вычисление квадратурных правил Гаусса высокого порядка с использованием дискретизации для измерения переноса излучения» Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения. 2001. 68 (2): 213–223. [Google Scholar]
- Гаучи В. «Алгоритм 726: ORTHPOL - пакет процедур для генерации ортогональных многочленов и квадратурных правил типа Гаусса» Транзакции ACM на математическом программном обеспечении. 1994. 20 (1): 21–62. [Google Scholar]
- Гаучи В. «Алгоритм 793: GQRAT - квадратура Гаусса для рациональных функций» Транзакции ACM на математическом программном обеспечении.1999. 25 (2): 213–239. [Google Scholar]
- Гаучи В. Ортогональные многочлены: вычисление и приближение. Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета; 2004. [Google Scholar]
- Голуб Г.Х., Ван Лоан С.Ф. Матричные вычисления Балтимор, издательство Университета Джона Хопкинса; 1996. [Google Scholar]
- Jukes TH, Cantor CR. Эволюция белковых молекул Метаболизм белков млекопитающих H N Munro. Нью-Йорк: Academic Press; 1969. С. 3 стр. 21–132. [Google Scholar]
- Mayrose I, Friedman N, et al.«Модель гамма-смеси лучше учитывает неоднородность скорости сайта» Биоинформатика. 2005; 21: 151–158. [PubMed] [Google Scholar]
- Mayrose I, Graur D, et al. «Сравнение сайт-специфичных методов определения скорости для белковых последовательностей: эмпирические байесовские методы превосходят» Молекулярная биология и эволюция. 2004. 21 (9): 1781–1791. [PubMed] [Google Scholar]
- Press WH, Teukolsky SA, et al. Числовые рецепты на C: Искусство научных вычислений Кембридж, Издательство Кембриджского университета; 1997 г.[Google Scholar]
- Van Deun J, Bultheel A, et al. «О вычислении рациональных квадратурных формул Гаусса-Чебышева» Математика вычислений. {\ frac {\ pi} {2}} \ cos x dx \ end {eqnarray} {/ eq}
По основной теореме исчисления.б F (t) dt? \ label {1.15.2} \ tag {1.15.2} \]
Это вообще не проблема - вы просто меняете переменную. Итак, пусть
\ [x = \ frac {2t-ab} {ba}, \ quad t = \ frac {1} {2} [(ba) x + a + b], \ label {1.15.3} \ tag {1.15 .3} \]
, и новые пределы будут \ (x = \ pm 1 \).
Рискуя оказаться педагогически несостоятельным, я сначала опишу, без каких-либо теоретических разработок, именно то, что вы делаете, на примере - при условии, что вы пообещаете взглянуть на вывод позже, в Разделе 1.1 \ frac {\ pi} {4} \ sin \ frac {\ pi} {4} (x + 1) dx. \ label {1.15.5} \ tag {1.15.5} \]
Для 5-точечной квадратуры Гаусса вы оцениваете подынтегральное выражение при пяти значениях \ (x \), где эти пять значений \ (x \) являются решениями \ (P_5 (x) = 0 \), приведенными в разделе 1.14, \ (P_5 \) - полином Лежандра. То есть мы вычисляем подынтегральное выражение в \ (x = \ pm 0. 5 c_ {5, i} \ f (x_ {5, i}), \ label {1.15.6} \ tag {1.15.6} \]
, где коэффициенты \ (c_ {l, i} \) (все положительные) перечислены вместе с корнями многочленов Лежандра из раздела 1.14.
Давай попробуем.
\ begin {array} {ccc}
x_ {5, i} & f (x_ {5, i}) & c_ {5, i} \\
\\
+0.906 \ 179 \ 845 \ 939 & 0.783 \ 266 \ 908 \ 39 & 0,236 \ 926 \ 885 \ 06 \
+0,538 \ 469 \ 310 \ 106 и 0,734 \ 361 \ 739 \ 69 и 0,478 \ 628 \ 670 \ 50 \
0,000 \ 000 \ 000 \ 000 & 0.555 \ 360 \ 367 \ 27 и 0,568 \ 888 \ 888 \ 89 \\
-0,538 \ 469 \ 310 \ 006 и 0,278 \ 501 \ 544 \ 60 и 0,478 \ 628 \ 670 \ 50 \\
-0,906 \ 179 \ 845 \ 939 & 0,057 \ 820 \ 630 \ 35 & 0,236 \ 926 \ 885 \ 06 \\
\ end {array}, а выражение \ (\ ref {1.15.6} \) сводится к \ (1.000 \ 000 \ 000 \ 04 \), и предположительно могло бы приблизиться к 1, если бы мы дали \ (x_ {l, i} \ ) и \ (c_ {l, i} \) к более значащим цифрам.
Теперь вам нужно написать компьютерную программу для квадратуры Гаусса - вам, конечно же, придется хранить \ (x_ {l, i} \) и \ (c_ {l, i} \).2 x dx \\
\ end {array}Все они могут быть интегрированы аналитически, поэтому я собираюсь предложить читателю оценить их сначала аналитически, а затем численно по правилу Симпсона и снова с помощью квадратуры Гаусса, и посмотреть, в скольких точках подынтегральное выражение должно оцениваться каждым из них. метод достижения девяти или десятизначной точности. Я попробовал, и результаты следующие. Первый столбец - это ответ, второй столбец - количество точек, требуемых правилом Симпсона, а третий столбец - количество точек, требуемых квадратурой Гаусса.
\ begin {array} {ccccc}
(a) & 0,192 \ 259 \ 358 && 33 & 4 \\
(b) & 0,160 \ 602 \ 794 && 99 & 5 \\
(c) & -0,176 \ 820 \ 020 && 19 & 4 \\
(d) & 0,088 \ 755 \ 284 \ 4 && 111 & 5 \\
(e) & 2,588 \ 628 \ 633 && 453 & 7 \\
(f) & -0,733 \ 969 \ 175 && 143 & 8 \\
(г) & 0,636 \ 213 \ 346 && 31 & 5 \\
(ч) & 0,642 \ 699 \ 082 && 59 & 5 \\
\ end {array}Давайте теперь посмотрим на четыре интеграла, которые мы встретили в разделе 1.2 dy} {\ sqrt {1-x}}, \), который, кажется, сразу подходит для гауссовой квадратурности. Прежде чем продолжить, напомним, что подынтегральное выражение становится бесконечным на верхнем пределе, и оно остается бесконечным после нашей замены переменной. Отметим, однако, что с квадратурой Гаусса, , мы не оцениваем подынтегральное выражение на верхнем пределе , так что это может показаться большим преимуществом метода перед методом Симпсона. Увы! - оказывается, что это не так. Если, например, мы используем квадратуру из 17 точек, наибольшее значение \ (x \), для которого мы вычисляем подынтегральное выражение, равно наибольшему решению \ (P_ {17} (x) = 0 \), которое равно \ (0.2 \ phi}}. \) Мне потребовалось 13 очков по правилу Симпсона, чтобы получить ответ на десять значащих цифр, \ (2.622 \ 057 \ 554 \). Чтобы сделать пределы \ (\ pm 1 \), подходящие для квадратуры Гаусса, мы можем сделать вторую замену (как в примере 2), \ (\ phi = \ frac {\ pi} {4} (x + 1 ) \). Если мы действительно хотим произвести впечатление на наших друзей, мы можем сделать две замены за один шаг, таким образом: Пусть \ (\ sin \ frac {\ pi} {4} (1 + x) = \ sqrt {2} \ sin \ frac {1} {2} \ theta \). 2 \ frac {\ pi} {4} (x + 1)}}, \), который теперь готов для гауссовой квадратуры.c -1} dx, \), где \ (c = \ cot \ frac {\ pi} {4} (x + 1) \). Используя 16-точечную квадратуру Гаусса, я получил 6,48. Таким образом, нам нужно расширить нашу таблицу констант для метода Гаусса до гораздо более высокого порядка, чтобы использовать метод успешно. Несомненно, тогда гауссовский метод был бы быстрее, чем метод Симпсона, но нам не нужен обширный (и трудно вычисляемый) набор констант для последнего. Еще один небольшой момент: вы могли заметить, что не сразу очевидно, что подынтегральное выражение равно нулю в конечных точках, и что требуется некоторая работа, чтобы доказать это.Но с помощью метода Гаусса вы не оцениваете подынтегральное выражение в конечных точках, так что беспокоиться об этом меньше!
Таким образом, мы обнаружили, что в большинстве случаев метод Гаусса намного быстрее, чем метод Симпсона. В некоторых случаях это ненамного быстрее. В других случаях это, вероятно, будет быстрее, чем правило Симпсона, но для его применения необходимы константы более высокого порядка.