Как вычислить объем зная площадь: Объем, Площадь поверхности, формулы объема

2 \cdot h$

Площадь боковой поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Площадь полной поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$


Тест: объём и площадь поверхности

Содержание

Как найти Объем Параллелепипеда?

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле.

Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.

Два свойства объёма


  1. У равных тел равные объёмы. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.

  2. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.



Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a × b × h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

a

длина параллелепипеда

b

ширина параллелепипеда

h

высота параллелепипеда

P (осн)

периметр основания

S (осн)

площадь основания

S (бок)

площадь боковой поверхности

S (п.п.)

площадь полной поверхности

V

объем

Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.


a = 9 см

b = 6 см

h = 3 см

V = a × b × h

V = 9 × 6 × 3 = 162 см3.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3.

Следствие

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

V = Sосн × h

Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.

Sосн = V : h

Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 96 см3, а высота 8 см.


V = 96 см3

h = 8 см

V = Sосн × h

Sосн = V : h

Sосн = 82 см3 : 8 см = 12 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 12 см2.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart поможет быстрее разобраться в теме и правильно решать задачки!

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Так как противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания. Так как площади оснований у прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

  • Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Пример 3. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.


Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Sп. п. = 2 (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108 см2.

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно.

Задачи на самопроверку

Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.

Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.


Как решаем:

a = 18 см

b = 10 см

h = 7 см

Формула нахождения объема параллелепипеда:

V = a × b × h

Подставляем наши числа:

V = 18 × 10 × 7 = 1260 см3.

Ответ: объём параллелепипеда равен 1260 см3.

Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём равен 120 см3, а высота — 15 см.


Как решаем:

V = 120 см

h = 15 см

V = Sосн × h

Sосн = V : h

Sосн = 120 см3: 15 см = 8 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 8 см2.

Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания равна 30 сантиметров, ширина равна 12 см, а высота равна 5 см.

Как решаем:

Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Sп. п. = 2 (30 × 12 + 30 × 5 + 12 × 5) = 2 × (360 + 150 + 60) = 2 × 570 = 1140 см2.

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна 1140 см2.

Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.

V параллелепипеда

V = a × b × h

 

V = Sосн × h

S боковой поверхности

Sб. п. = 2 (ac + bc)

S полной поверхности

Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Найдите объем куба,если площадь его поверхности равна 96см2

Нам необходимо найти объем куба при известной площади его поверхности.

Разделим решение задачи на этапы:

  1. выразим формулу для нахождения площади поверхности куба;
  2. выразим итоговую формулу для нахождения объема;
  3. найдем объем куба.

Выразим формулу для нахождения площади поверхности куба

Нам известно, что площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Мы знаем, что каждая грань куба представляет собой квадрат, площадь которого вычисляется исходя из следующей формулы:

Sкв = H2

где H — длинна ребра рассматриваемого квадрата.

Так же мы знаем, что куб, в свою очередь, имеет 6 одинаковых граней. Таким образом мы получаем, что формула для нахождения площади поверхности куба будет иметь следующий вид:

Sкуб = 6 * H  (1)

Выразим итоговую формулу для нахождения объема куба

Нам известно, что все грани куба равны и следовательно объем куба вычисляется как длинна его ребра взведенная в куб.

То есть мы получаем следующую формулу:

Vкуб = H3   (2)

Выразим длину ребра из формулы площади поверхности куба (1):

H2 = Sкуб / 6;

H = sqrt(Sкуб / 6)

где sqrt — корень квадратный.

Таким образом формула для вычисления объема куба (2) примет вид:

Vкуб = H3 = (sqrt(Sкуб / 6))3 = (Sкуб / 6)3/2   (3)

Найдем объем куба

Из условия задачи нам известно, что площадь поверхности куба составляет Sкуб = 96 см2.  Подставляем данное значение в итоговую формулу (3) и получаем, что объем рассматриваемого куба составляет:

Vкуб = (Sкуб / 6)3/2 = (96 / 6)3/2 = 163/2 = 43 * 2/2 = 43 * 1 = 43 = 64 см3

Ответ: Vкуб = 64 см3

 

Вычисление объема тела по его поперечному сечению

Если объем тела V существует и функция S=S(x) является площадью сечения тела плоскостью (определенная и гладкая на промежутке [a;b]), каторая перпендикулярная к оси Ox в точке x, то объем тела находится за формулой
Это достаточно простая зависимость определенного интеграла, проблема заключается в том, что функция площади не всегда выражается простой зависимостью. В этом Вы скоро убедится из готовых ответов на вычисление объема.
Примеры подобрано из программы для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко. Студенты на практических занятиях имеют похожую программу учебы, задания в ряде случаев совпадают.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

Для изучения методики нахождения объема тел за известными сечениями основные этапы интегрирования повторяться из примера в пример.

Найти объемы тел, которые ограничены следующими поверхностями

Пример 2463 Найти объем эллипсоида

Вычисление: Сложим уравнение подинтегральной функции. В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Ox, получим эллипс

площадь которого выражается функцией

Определим пределы интегрирования:
у эллипсоида в канонической системе координат это промежуток [-a;a].
Найдем объем эллипсоида:

В том что формула справедлива можете убедиться, сопоставив вычисленную формулу с известной.
Объем фигур измеряется у кубических единиц !
Видим, если эллипсоид вырождается в сферу (a=b=c=R), то его объем равен V=4/3*Pi*R3 (формула известна из «школьной» геометрии).

Пример 2464 Найти объем тела (однополий гиперболоид).
Вычисление: Выражаем подинтегральную функцию.
В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Ox, получим эллипс

площадь которого выражается функцией

Определим пределы интегрирования : у эллипсоида в канонической системе координат это промежуток [- a;a].
Найдем объем эллипсоида :

В том что формула справедливая можете убедиться, сравнив вычисленную формулу с известными в справочниках.
Объем фигур измеряется у кубических единиц !
Видим, если эллипсоид вырождается в сферу (a=b=c=R), то его объем равен V=4/3*Pi*R3 (формула известна из «школьной» геометрии).

Пример 2464Найти объем тела (однополий гиперболоид).
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию. В сечении тела плоскостью, что перпендикулярная к оси Oz, получим эллипс

площадь которого

Пределы интегрирования известны за условием: .
Кроме этого они являются подсказкой в каком направлении выполнять перерез и искать функцию площади.
Найдем объем однополого гиперболоида, что ограничен сверху и снизу плоскостями:

Определенный интеграл в этом задании находится без трудностей.

 

Пример 2465Найти объем тела образованного пересечением цилиндрических поверхностей
Вычисление: Сложим уравнение подинтегральной функции. Рассмотрим 1/8 часть тела (она расположена в И квадранте).
В сечении плоскостью, какая перпендикулярная к оси Oz, получим квадрат, площадь которого равна

Пределы интегрирования : И вадрат прямоугольной системы координат [0;a].
Интегрированием вычисляем объем тела :

Как можно убедиться из формул площади, их интегрирования достаточно не сложное.

 

Пример 2468Вычислить объем тела
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию. В сечении плоскостью, какая перпендикулярная к оси Oz, получим эллипс, площадь которого известна
Пределы интегрирования за условием тоже известны:
.
Осталось проинтегрировать и подставить пределы.

Получили, что объем тела равен V=Pi/2*a3 куб. од.

 

Пример 2469Найти объем тела
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию. В сечении плоскостью, которая перпендикулярная к оси Oz, получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длиной 1-z2, площадь которого легко находится

Пределы интегрирования : (это видно из области существования функции ).
Объем тела находим интегрированием:

Из приведенных примеров Вы могли заметить, что все зависит от уравнения площади сечения. Для того, чтобы его записать нужно владеть добрым пространственным воображением и знать сечения основных пространственных тел. Все остальное зависит от Вашего умения интегрировать.

Рассчитать объем щебня по площади: таблицы и формулы

В этой статье подробно описано, как рассчитать объем щебня по площади

. Чтобы вычислить его, нужно перемножить насыпную плотность нерудного материала, длину и ширину участка, который предстоит засыпать, а также толщину щебневого слоя.

Важные характеристики щебня

Насыпная плотность – масса 1 куб. м щебня в неуплотненном состоянии. Она указана в сертификате соответствия и различна для разных фракций и видов материала. Например, известняк — самый легкий из-за слоистой и пористой структуры, а гранит — наиболее тяжелый ввиду высокой плотности. Если нет возможности ознакомиться с сертификатами, ориентируйтесь на примерные показатели в соответствии с ГОСТ 8267-93, ГОСТ 8269.0-97.

Таблица 1. Насыпная плотность щебня разных видов

Щебень Размер фракции,мм Насыпная плотность,кг/м3
Гранитный
20 – 40
1370 – 1470
40 – 70 1380 – 1450
70 – 250 1400
Известняковый 10 – 20 1250
20 – 40 1280
40 – 70 1330
Гравийный 0 – 5 1600
5 – 20 1430
  20 – 40 1400
40 – 100 1650
>160 1730
Шлаковый независимо от размера частиц 800

Перед тем как рассчитать, сколько нужно щебня на площадь, проанализируйте сопутствующие факторы. Основной из них – коэффициент уплотнения. Эта безразмерная величина характеризует, насколько объем материала уменьшится при трамбовке катком или в ходе естественного уплотнения при перевозке. ГОСТ 8267-93 не требует обязательного указания этого параметра в сопроводительных документах, поэтому ориентируйтесь на условия СНиП 3.06.03-85:

  • при транспортировке в грузовой машине коэффициент равен 1,1;
  • при трамбовке высокопрочных марок гранитной, гравийной щебенки– около 1,3;
  • при утрамбовке материалов марок 300 – 600 – до 1,52.

Показатель актуален для насыпных материалов с размером фракций 40 – 70 и 70 – 120 мм. Для других видов его обычно не применяют, поскольку в дорожно-строительных работах мелкую щебенку используют для расклинцовки (заполнения пустот), а не для обустройства оснований. Однако из нее делают фундаментную подушку, а для этих целей подходит щебенка 20 – 40 мм. Если нужно произвести расчет щебня для фундамента, также применяйте коэффициент 1,3.

Пример расчета для фундамента

Рассчитать щебень на фундамент предельно просто. В первую очередь вычисляют объем щебневой подушки по формуле:

V= Sh= abh, где:
S – площадь, а h – высота,
a – длина, b – ширина, h – высота.

Поскольку мы рассчитываем объем щебня по площади, она нам уже известна. Ее следует умножить на толщину подушки (рекомендованное значение – от 20 до 30 см). Если размеры монолитного фундамента равны 6х10 м, а толщина щебеночного слоя – 25 см, рассчитаем объем:

6 х 10 х 0,25 = 15 куб. м

Для фундаментной подушки традиционно используют нерудные материалы с показателями морозостойкости не менее F300, прочные и стойкие к воздействию влаги. Обычно это гранит или гравий. Но первый существенно дороже, а также обладает природной радиоактивностью, поэтому строить жилые дома с его применением следует очень осторожно (например, нельзя использовать его при возведении стен, перекрытий).
Насыпная плотность гравийного щебня 20 – 40 мм – около 1400 кг/куб. м, а коэффициент уплотнения в данном случае – 1,3. Зная эти параметры, произведем несложный расчет:

1,4 т х 15 куб. м х 1,3 = 27,3 т.

Мы получили общий вес нерудных материалов для засыпки 60 кв. м площади слоем в 25 см. Чтобы рассчитать необходимый объем, делим полученную величину на насыпную плотность материала:

27,3 т : 1,4 т/куб. м. = 19,5 куб. м

Расчет щебня на дорогу

Пользуясь приведенными формулами, несложно понять, как рассчитать количество щебня на дорогу. Просто подставьте необходимые значения:

V = S пл.покрытия х h толщина слоя

Полученный объем перемножьте с насыпной плотностью щебенки (обычно используют гранитную 70 – 120 мм) и коэффициентом 1,3 по формуле:

m = V х уд. плотность х коэфф. уплотнения

Затем разделите массу на удельную плотность и получите объем щебня, который нужно приобрести для проведения строительных работ.

Доставка нерудных материалов по ЦФО

Позвоните нам!

или оставьте заявку

Как правильно посчитать объём бревна?

Кубатурой бревна называют объем древесного материала, измеренный в кубических метрах. Эта величина используется в строительстве деревянных срубов для вычисления количества круглого леса. Определять кубатуру важно при продаже дров, где предусматривается оплата за каждый кубический метр дерева. Как посчитать объем круглого цилиндрического пиломатериала правильно?

Знать кубатуру дерева надо при покупке этого стройматериала, так как оплата производится за каждый метр кубический.

Существует несколько способов ориентировочной оценки кубатуры круглого леса или дров. Все наработанные методики используют данные измерения геометрических размеров и математические расчеты. Для замера строительных величин традиционно используется рулетка.

Расчет кубатуры занимаемого пространства

Наиболее простой способ заключается в определении кубического прямоугольного пространства, в котором сложен брус. Таким местом может быть кузов самосвала или сарай. Также можно калькулировать геометрические размеры поленницы, если она сложена в виде аккуратного прямоугольника.

Поскольку пространственная кубатура заполнена деревом не полностью, определяемая величина уменьшается с помощью коэффициента пустот. В строительных вычислениях считается, что коэффициент пустот равен 0,8. То есть 20% пространства занято воздушными пустотами, а 80% – деревом.

Кубический размер определяется следующим образом:

  1. Измеряются длина, ширина и высота прямоугольного пространства.
  2. Полученные величины перемножаются между собой, получается значение объема.
  3. Полученное значение умножается на коэффициент 0,8, учитывающий ориентировочное количество пустот между круглыми бревнами.
  4. Полученное значение принимают за искомый объем бревна.

Данный способ применяется для вычисления кубатуры разнородного по размерам кругляка или досок, дров.

Вернуться к оглавлению

Расчет объема отдельных бревен

Рисунок 1. Измерение двух перпендикулярных диаметров в сечении бруса

Если круглый лес характеризуется одинаковой длинной бревен и близким диаметром, то можно посчитать объем выборочно 3-х брусов, свести их к средней расчетной величине и умножить ее на количество бревенчатого материала. В таком случае расчеты выполняются следующим образом:

  1. Выбрать 3 любых бруса.
  2. Измерить их диаметр и длину. Для удобства вычислений измерения произвести в метрах.
  3. Рассчитать кубическое пространство, занимаемое каждым из кругляков по формуле:

V=Пи*R2*L,

где Пи – число, равное 3,14,

R – радиус, равный половине измеренного диаметра,

L – длина бруса.

  1. Полученные значения 3-х кубатур круглого леса будут близки между собой. Их необходимо сложить и сумму разделить на 3. Таким образом, получим значение среднего объема одного бревна.
  2. Далее умножаем полученную среднюю величину на количество заготовок в машине или хранилище.

Поскольку для строительства используются бревна близкого диаметра и стандартизованной длины, данный метод широко используется для оценки кубатуры строительного леса.

Если форма бруса слегка придавлена, его срез в сечении будет не круглым, а слегка овальным. Как тогда определить значение диаметра? Для этого измеряют размер 2-х перпендикулярных диаметров в сечении бруса: самого большого и самого маленького. Далее измеренные величины суммируют и делят на 2. Полученное значение будет средним диаметром, используемым в расчетах (рис. 1).

Вернуться к оглавлению

Расчет объема по таблицам

Расчет объема круглого леса с использованием таблиц заключается в измерениях диаметра и получении данных из готовых строительных таблиц.

Такие справочники содержат структурированную информацию, указывающую расход пиломатериала заданного диаметра на строительство 1 м² стены. Подобные таблицы являются результатом строительных расчетов и наработанной практики определения расхода пиломатериала. Поэтому они позволяют довольно точно оценить кубатуру строительного леса. Комплект таблиц, сведенных в единый стандартизированный документ, называется ГОСТом.

Чаще всего таблицы рассчитаны для оцилиндрованного бревна, у которого снят верхний слой и кора, поверхность выровнена до правильного цилиндра.

При желании можно использовать данные таблиц для определения количества необрезного дерева, делая поправку на возможные неточности. Ошибки полученных результатов будут связаны с изменением диаметра сечения кругляка на протяжении его длины.

Самостоятельный расчет количества круглого леса позволяет удостовериться в правильности определения цены продавцом. Экономически целесообразно проверить бригаду подрядчиков, проведя собственные ориентировочные расчеты расхода строительных бревен на возведение стен дома.

Расчет объема | SkillsYouNeed

На этой странице объясняется, как рассчитать объем твердых объектов, т. е. сколько вы могли бы вместить в объект, если, например, вы наполнили его жидкостью.

Площадь — это мера того, сколько места находится внутри двухмерного объекта (дополнительную информацию см. на нашей странице: Расчет площади).

Объем — это мера того, сколько места находится внутри трехмерного объекта. Наша страница о трехмерных фигурах объясняет основы таких фигур.

В реальном мире вычисление объема, вероятно, не будет использоваться так часто, как вычисление площади.

Тем не менее, это может быть важно. Возможность рассчитать объем позволит вам, например, определить, сколько места у вас есть для упаковки при переезде, сколько офисного пространства вам нужно или сколько варенья вы можете поместить в банку.

Это также может быть полезно для понимания того, что имеют в виду СМИ, когда говорят о мощности плотины или расходе реки.


A Примечание по устройствам


Площадь выражается в квадратных единицах ( 2 ), поскольку она измеряется в двух измерениях (например, длина × ширина).

Объем выражается в кубических единицах ( 3 ), поскольку он измеряется в трех измерениях (например, длина × ширина × глубина). Кубические единицы включают см3, м3 и кубические футы. Кубические единицы включают 3 см, 3 м и кубические футы.

ВНИМАНИЕ!

Объем также может быть выражен как вместимость по жидкости.

Метрическая система

В метрической системе вместимость жидкости измеряется в литрах, что прямо сравнимо с кубическим измерением, поскольку 1 мл = 1 см 3 . 1 литр = 1000 мл = 1000 см 3 .

Имперская/английская система

В имперской/английской системе эквивалентными измерениями являются жидкие унции, пинты, кварты и галлоны, которые нелегко перевести в кубические футы. Поэтому лучше всего придерживаться либо жидких, либо твердых единиц объема.

Для получения дополнительной информации см. нашу страницу о системах измерения.


Основные формулы для расчета объема

Объем тел на основе прямоугольников


В то время как основная формула площади прямоугольной формы равна длине × ширине, основная формула объема равна длине × ширине × высоте.

То, как вы ссылаетесь на различные измерения, не влияет на вычисление: вы можете, например, использовать «глубину» вместо «высоты».Важно то, что три измерения умножаются вместе. Вы можете умножать в любом порядке, который вам нравится, так как это не изменит ответ (дополнительную информацию см. на нашей странице о умножении на ).

Коробка с размерами 15 см в ширину, 25 см в длину и 5 см в высоту имеет объем:
15 × 25 × 5 = 1875 см 3

Объем призм и цилиндров

Эта базовая формула может быть распространена на объем цилиндров и призм . Вместо прямоугольного конца у вас просто другая форма: круг для цилиндров, треугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник для призмы.

По сути, для цилиндров и призм объем равен площади одной стороны, умноженной на глубину или высоту формы.

Таким образом, основная формула объема призм и цилиндров:

Площадь торцевой формы × высота/глубина призмы/цилиндра.

Остерегайтесь несовместимых юнитов!


Прямой отрезок круглой трубы имеет внутренний диаметр 2 см и длину 1 см.7м. Рассчитайте объем воды в трубе.

В этом примере вам нужно рассчитать объем очень длинного тонкого цилиндра, образующего внутреннюю часть трубы. Площадь одного конца можно рассчитать по формуле площади круга πr 2 . Диаметр 2см, значит радиус 1см. Таким образом, площадь равна π × 1 2 , что составляет 3,14 см 2 .

Длина трубы 1,7 м, поэтому вам нужно умножить площадь конца на длину, чтобы найти объем.

Остерегайтесь несовместимых юнитов! Площадь в сантиметрах, а длина в метрах. Сначала преобразуйте длину в см 1,7 × 1000 = 1700 см.

Таким образом, объем равен 3,14 × 1700 = 5338 см 3 . Это эквивалентно 5,338 литра или 0,0053 м 3 .


Объем конусов и пирамид

Тот же принцип, что и выше (ширина × длина × высота), применяется для расчета объема конуса или пирамиды, за исключением того, что, поскольку они сходятся в точке, объем составляет лишь долю от общего объема, который был бы, если бы они продолжали одинаковой формы (в поперечном сечении) насквозь.

Объем конуса или пирамиды составляет ровно одну треть объема коробки или цилиндра с таким же основанием.

Таким образом, формула:

Площадь основания или торца × высота конуса/пирамиды × 1 / 3

Вернитесь к нашей странице Вычисление площади , если вы не можете вспомнить, как вычислить площадь круга или треугольника.

Например, чтобы вычислить объем конуса с радиусом 5 см и высотой 10 см:

Площадь внутри круга = πr 2 (где π (пи) приблизительно равно 3.14, а r — радиус окружности).

В этом примере площадь основания (окружности) = πr 2 = 3,14 × 5 × 5 = 78,5 см 2 .

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 см 3


Объем сферы

Как и в случае с кругом, вам нужно π (пи), чтобы вычислить объем сферы.

Формула 4/3 × π × радиус 3 .

Вам может быть интересно, как можно вычислить радиус шара.Если не считать протыкания вязальной спицы (эффективно, но смертельно для мяча!), есть более простой способ.

Вы можете измерить расстояние вокруг самой широкой точки сферы напрямую, например, с помощью рулетки. Этот круг является окружностью и имеет тот же радиус, что и сама сфера.

Длина окружности рассчитывается как 2 x π x радиус.

Чтобы вычислить радиус по окружности вам:

Разделите длину окружности на (2 x π) .


Примеры работы: расчет объема

Пример 1

Вычислите объем цилиндра длиной 20 см, радиус круглого конца которого равен 2,5 см.

Сначала определите площадь одного из круглых концов цилиндра.

Площадь круга равна πr 2 × радиуса × радиуса). π (пи) примерно равно 3,14.

Таким образом, площадь конца:

3.14 х 2,5 х 2,5 = 19,63 см 2

Объем – это площадь конца, умноженная на длину, и поэтому:

19,63 см 2 x 20 см = 392,70 см 3




Пример 2

Что больше по объему: сфера радиусом 2 см или пирамида с основанием 2,5 см и высотой 10 см?

Сначала определите объем сферы .

Объем сферы равен 4/3 × π × радиусу 3 .

Таким образом, объем сферы равен:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 см 3

Затем определите объем пирамиды .

Объем пирамиды равен 1/3 × площадь основания × высота.

Площадь основания = длина × ширина = 2,5 см × 2,5 см = 6,25 см 2

Таким образом, объем

равен 1/3 х 6,25 х 10 = 20.83 см 3

Следовательно, сфера больше по объему, чем пирамида.



Расчет объема неправильных тел

Точно так же, как вы можете рассчитать площадь неправильных двумерных фигур, разбив их на правильные, вы можете сделать то же самое для вычисления объема неправильных тел. Просто разделите тело на более мелкие части, пока не получите только многогранники, с которыми вам будет легко работать.

Рабочий пример

Рассчитайте объем водяного цилиндра общей высотой 1 м и диаметром 40 см, верхняя часть которого имеет форму полусферы (половина сферы).

Сначала вы делите фигуру на две части: цилиндр и полусферу.

Объем сферы равен 4/3 × π × радиусу 3 . В этом примере радиус равен 20 см (половина диаметра). Поскольку вершина полусферическая, ее объем будет вдвое меньше полной сферы. Таким образом, объем этой секции формы:

0,5 × 4/3 × π × 20 3 = 16 755,16 см 3

Объем цилиндра равен площади основания × высоте.Здесь высота цилиндра — это общая высота за вычетом радиуса сферы, который равен 1 м — 20 см = 80 см. Площадь основания πr 2 .

Таким образом, объем цилиндрического сечения этой формы:

80 × π × 20 × 20 = 100 530,96 см 3

Таким образом, общий объем этого контейнера для воды составляет:
100 530,96 + 16 755,16 = 117 286,12 см 3 .

Это довольно большое число, поэтому вы можете преобразовать его в 117.19 литров путем деления на 1000 (поскольку в литре 1000см 3 ). Однако вполне корректно выразить ее как cm 3 , так как задача не требует, чтобы ответ был выражен в какой-либо конкретной форме.




Дополнительное чтение из навыков, которые вам нужны


Понимание геометрии
Часть руководства по необходимым навыкам счета

В этой электронной книге рассматриваются основы геометрии и рассматриваются свойства форм, линий и тел.Эти концепции построены в книге, с примерами работы и возможностями для вас, чтобы попрактиковаться в ваших новых навыках.

Если вы хотите освежить свои знания или помочь своим детям в обучении, эта книга для вас.


В заключение…

Используя эти принципы, если необходимо, теперь вы сможете рассчитать объем почти всего в вашей жизни, будь то упаковочный ящик, комната или водяной цилиндр.

Калькулятор объема

📐 — Рассчитайте объем куба, коробки, цилиндра, сферы, конуса…

    Быстрый переход:

  1. Как рассчитать объем тела?
  2. Объем куба
  3. Объем коробки
  4. Объем цилиндра
  5. Объем сферы
  6. Объем конуса
  7. Объем треугольной призмы
  8. Примеры применения формул объема

    Как рассчитать объем тела?

В зависимости от конкретного тела существуют разные формулы и разная необходимая информация, необходимая для расчета его объема. Ниже приведены формулы объема для наиболее распространенных типов геометрических тел — все они поддерживаются нашим онлайн-калькулятором объема выше. Все меры должны быть в одних и тех же единицах. Результат всегда в кубических единицах: кубические сантиметры, кубические дюймы, кубические метры, кубические футы, кубические ярды и т. д.

Расчеты объема полезны во многих науках, в строительных работах и ​​планировании, при перевозке грузов, в контроле климата (например, расчеты кондиционирования воздуха), управлении плавательными бассейнами и многом другом.

    Объем куба

Формула объема куба: сторона 3 , как показано на рисунке ниже:

Единственная необходимая информация — это сторона, затем вы берете ее куб и вы нашли объем куба. Это то же самое, что умножить площадь поверхности одной стороны на глубину куба. Для этого типа цифр едва ли нужен калькулятор, чтобы сделать математику.


    Объем ящика

Чтобы найти объем прямоугольного ящика, используйте формулу высота x ширина x длина , как показано на рисунке ниже:

Чтобы рассчитать объем коробки или прямоугольного резервуара, вам нужны три измерения: ширина, длина и высота. Их обычно легко измерить из-за регулярности формы. Обозначив одно измерение как глубину или высоту прямоугольной призмы, умножение двух других дает нам площадь поверхности, которую затем необходимо умножить на глубину / высоту, чтобы получить объем. Чтобы рассчитать объем бака другой формы, воспользуйтесь нашим калькулятором объема бака.

    Объем цилиндра

Формула объема цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) 2 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), поэтому по-другому можно записать . высота x π x радиус 2 .Визуал на рисунке ниже:

Вам нужны два измерения: высота цилиндра и диаметр его основания. Во многих школьных формулах вместо этого дается радиус, но в реальных ситуациях гораздо проще измерить диаметр, чем пытаться точно определить середину круглого основания, чтобы вы могли измерить радиус. Наш калькулятор объема требует, чтобы вы ввели диаметр основания. Через диаметр можно рассчитать площадь поверхности основания, а затем, чтобы получить объем, просто умножить его на высоту цилиндра.


    Объем сферы

Чтобы найти объем сферы, используйте формулу 4/3 x π x (диаметр / 2) 3 , где (диаметр / 2) — радиус сферы (d = 2 xr), поэтому другая способ записи: 4/3 x π x радиус 3 . Визуально на рисунке ниже:

То же, что и круг, вам нужно только одно измерение сферы: диаметр или радиус.

    Объем конуса

Формула объема конуса: (высота x π x (диаметр / 2) 2 ) / 3 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), так что другой способ напишите это (высота x π x радиус 2 ) / 3 , как показано на рисунке ниже:

Несмотря на довольно сложную форму, вам нужно знать только три измерения, чтобы вычислить объем обычного конуса.Для конусов неправильной формы, которые еще не поддерживаются нашим инструментом, вам также необходимо знать угол конуса.


    Объем треугольной призмы

Формула объема треугольной призмы: (высота x основание x длина) / 2 , как показано на рисунке ниже:

Подобно прямоугольным коробкам, вам нужно всего три измерения: высота, основание и длина, чтобы найти объем.

    Примеры применения формул объема

Вычисления объемов и, следовательно, формулы имеют широкий спектр практических применений.Если вы столкнулись со строительным проектом, работой по отделке дома или некоторыми инженерными задачами, калькулятор поможет вам, если цифра, объем которой вы хотите рассчитать, попадает в любую из вышеперечисленных форм. Сложные фигуры обычно можно разложить, хотя бы приблизительно, на сумму указанных выше основных фигур.

Если вы хотите выполнить более конкретную задачу, например, рассчитать количество необходимого бетона или количество асфальта, гравия, почвы, песка или мульчи, лучше всего обратиться к каждому из этих инструментов соответственно.

Вычисление площади и объема для домашних дел

Многие домашние дела требуют умения вычислять площадь или объем. Независимо от того, красите ли вы детскую комнату, мульчируете клумбу на зиму, сажаете семена травы весной или занимаетесь любым другим проектом, для которого вам нужно выяснить, сколько чего-то вам нужно покрыть, зная, как рассчитать площадь и объем экономит время и деньги.

Расчет площади

Чтобы вычислить площадь, вы просто используете эту формулу:

площадь = длина × ширина. a = lw

Отсюда вы можете получить другую необходимую вам информацию:

  • Расчет необходимого количества семян: Используйте формулу площади, чтобы рассчитать площадь, которую вы хотите покрыть, а затем подсчитайте необходимое количество фунтов семян.Семенные компании указывают, какое покрытие дает вам фунт семян. Просто разделите площадь, которую нужно покрыть, на площадь, которую покрывает 1 фунт семян. Например, если вы хотите покрыть площадь 1625 квадратных футов, а 1 фунт семян покрывает 600 квадратных футов, вам потребуется около 3 фунтов семян (1625 разделить на 600 равно 2,7)

  • Вычисление площади для окрашивания: Вы можете рассчитать площадь каждой стены, а затем сложить значения вместе, или вы можете определить периметр комнаты (сложить длину каждой стены) и умножить это значение на высоту комнаты. Комната с периметром 42 фута и потолками высотой 8 футов имеет площадь 336 футов.

  • Вычисление необходимого количества квадратных метров коврового покрытия: Сначала подсчитайте площадь комнаты, а затем переведите это число из квадратных футов в квадратные ярды, разделив площадь на 9 (квадратный ярд равен 3 футам в ширину и 3 футам в длину) .

Вычисление объема

Когда область, которую вы хотите покрыть, имеет глубину, а также высоту и ширину, вам нужно определить объем, а не площадь.Мульчирование клумбы — один из таких проектов: чтобы защитить ваши цветы, вам нужно распределить несколько дюймов мульчи по всей клумбе.

Для расчета объема используется следующая формула:

объем = длина × ширина × высота v = lwh

Имея эту информацию, вы можете выполнить дополнительные расчеты, чтобы выяснить, сколько мешков мульчи нужно купить.

Скажем, например, что вы хотите покрыть мульчей 6,68 кубических футов (это объем, который вам нужен для небольшой грядки с мульчированием на глубину 3 дюйма). Просто разделите необходимый объем на количество кубических футов в мешке с мульчей. Если каждый мешок вмещает 3 кубических фута, вам понадобится 2,23 мешка. Так что купите 3, чтобы быть в безопасности.

Объем куба | Формула и как найти (видео)

Объем куба

Объем куба — это то, сколько места занимает куб в трех измерениях. Вы можете найти объем любого куба с одним заданным измерением, используя формулу объема куба :

.

Объем куба всегда измеряется в кубических единицах, полученных из линейной единицы, данной или используемой для измерения длины стороны.

Содержание

  1. Объем куба
  2. Что такое куб?
  3. Объем куба Формула
  4. Как найти объем куба
  5. Объем куба Примеры

Что такое куб?

Куб представляет собой трехмерное тело с шестью конгруэнтными квадратными гранями, встречающимися под прямым углом, восемью вершинами и двенадцатью сторонами одинаковой длины. Куб является одним из пяти Платоновых тел и также называется шестигранником.

Каковы размеры куба?

Куб — это трехмерный объект, поэтому куб имеет три измерения:

  • Длина – обычно понимается как большее из «плоских» размеров.
  • Ширина – обычно понимается как более короткий из «плоских» размеров.
  • Высота или глубина – Измерение, которое привносит форму в наш трехмерный мир

Обратите внимание, у нас есть два способа описать третье измерение:

  1. Высота — Используйте этот термин, когда объект возвышается перед вами, как высокое здание.
  2. Глубина — используйте этот термин, если объект падает под вами, как дыра в земле.

Нам нужна информация хотя бы об одном из этих трех измерений, чтобы измерить объем куба.

Объем куба Формула

Объем куба по формуле равен объему, умноженному на длину, умноженную на ширину, и на высоту.

Это уравнение объема не работает для каждого твердого тела, но оно работает для кубов, прямоугольных призм и параллелепипедов.

Поскольку все три значения — l, w и h — одинаковы в кубе, простейшая формула объема куба:

В этом томе уравнения куба s = длина любого ребра.

Объем всегда измеряется в кубических единицах на основе предоставленных вам линейных единиц. Если вам говорят, что сторона куба имеет длину 3 м, объем измеряется в кубических метрах или м3 (метры в кубе).

Как найти объем куба

Чтобы найти объем куба, нужно знать только длину любого ребра.

Если вам дана длина одной стороны, вы можете найти объем куба, подставив его в одну из формул объема куба:

  • В = л × ш × ч
  • В = с3

Чтобы измерить пространство, занимаемое кубом, нужно знать длину любого ребра, потому что длины всех сторон куба равны.

Как найти длину, ширину и высоту по объему

Что, если вам дан объем куба и вас попросят найти его размеры?

Если вам дан объем куба и вас просят найти длину ребра, все, что вам нужно сделать, это извлечь кубический корень из объема:

Ваш ответ больше не будет в кубических единицах; это будет в линейных единицах.

Что, если у нас есть куб, и нам говорят, что его объем составляет 729 кубических метров. Чтобы найти длину ребра куба:

с = 729 м33

с = 9 метров

Как рассчитать объем, используя площадь

Вот еще одно испытание. Что если вам скажут площадь одной грани куба? Можете ли вы использовать эту информацию, чтобы найти объем?

Да, площадь одного лица равна произведению длины лица на ширину.Как только вы найдете ширину или длину, вы можете применить формулу объема:

  1. Найдите квадратный корень из заданного измерения площади; это даст вам длину любой стороны, s.
  2. Используйте формулу объема, V = s3, чтобы найти площадь

Как рассчитать площадь поверхности куба, используя объем

Если вам дан объем куба, вы можете преобразовать его в длину одной стороны. Затем вы можете использовать длину стороны для расчета общей площади поверхности.

Используйте длину ребра, чтобы вычислить площадь поверхности одной стороны, затем умножьте эту площадь на 6. Это даст вам общую площадь поверхности куба с использованием объема.

Что если вам скажут общую площадь поверхности всего куба? Сможете ли вы найти объем?

Да, общая площадь поверхности включает площади всех шести конгруэнтных граней. Найдите площадь одной грани, а затем выполните шаги, описанные выше, чтобы найти объем:

  1. Разделите заданную общую площадь поверхности на шесть, чтобы получить площадь одной грани
  2. Найдите квадратный корень из площади одной грани, чтобы получить длину любой стороны, с
  3. Используйте формулу объема, V = s3

Объем куба Примеры

Если у вас есть трехмерное тело с шестью гранями, а стороны помечены как 4′, 6′ и 8′. Это куб?

Нет, это прямоугольная призма, потому что метки, опережающие рисунок, показывают разную длину!

Что, если стороны нашего твердого тела равны 4 футам, 4 футам и 4 футам; это куб?

Это куб, потому что на этикетках указано, что ширина, длина и высота одинаковы.

Каков объем куба выше?

Вы записали V = 43?

Вы рассчитали V = 64 кубических фута или фут3?

Давайте посмотрим на другой пример куба со стороной 12 ярдов.Каков его объем?

В = с3

В = 123

V = 1728 кубических ярдов (ярд3)

Как насчет куба с одной гранью площадью 25 см? Каков объем куба?

Во-первых, какова длина любого ребра или стороны куба?

Подумайте: чему равен квадратный корень из 25? Ответ 5, значит:

с = 25 см

с = 5 см

Теперь, когда у вас есть длина стороны, вы можете вычислить объем:

В = с3

В = 53

В = 125 кубических сантиметров, или см3

Общая площадь поверхности куба составляет 7 776 квадратных дюймов (in2). Каков объем куба?

Помните, что общая площадь поверхности равна площади всех шести квадратных граней. Разделите общую площадь поверхности на 6, извлеките из нее квадратный корень, затем используйте формулу объема:

.

7776 дюймов26 = 1296 дюймов2

1296 дюймов2 = 36 дюймов

Теперь мы можем вычислить объем куба:

В = 363

В = 46,656 кубических дюймов или дюймов3

Следующий урок:

Что такое площадь поверхности

Площадь поверхности и объем трехмерных фигур

В этом разделе мы вычисляем объем и площадь поверхности трехмерных фигур, таких как куба , кубоида , призмы и цилиндра .

Куб Объем = x ³
Площадь поверхности = 6 x ²
Прямоугольный Объем = xyz
Площадь поверхности = 2 xy + 2 xz + 2 yz
Цилиндр Объем = π r ² ч
Площадь криволинейной поверхности = 2 π rh
Площадь каждого конца = π r ²
Общая площадь поверхности = 2 π rh + 2 π r ²
Призма Призма имеет однородное поперечное сечение
Объем = площадь поперечного сечения × длина = л

Упражнения

Вопрос 5

На рисунке показан деревянный брусок, в котором просверлено отверстие. Диаметр отверстия 2 см.
Вычислите объем этого твердого тела, указав правильный ответ с точностью до 2 знаков после запятой.

см³

Объем = блок – отверстие = 4 × 6 × 6 – 1² × π × 6 = 144 – 6 π = 125,15 (до 2 д.п.)

Вопрос 7

На схеме показано поперечное сечение трубы длиной 50 см.
Внутренний диаметр трубы 20 см, внешний диаметр 30 см.

(а)

(б)

= 250 π + 1500 π + 1000 π = 2750 π
Общая площадь площади поверхности = 2 × (15² — 10²) × π + 30 π × 50 + 20 π × 50 π × 50

1

= 8639,379797 см² = 8640 см² (до 3 кв. футов)
Вопрос 10

Цилиндр имеет диаметр 12 см и площадь криволинейной поверхности 132 π или 415 см² (до 3 значащих цифр).

Вопрос 12

(а)

(б)

В коробке стандартного размера достаточно соли, чтобы заполнить 10 соляных горшков.

(в)

Вопрос 13

(а)

(б)

Каков объем этой призмы?

см³

Площадь поперечного сечения = × основание × высота = × 6 × 8 = 24 см²

Объем призмы = площадь поперечного сечения × длина = 24 × 7 = 168 см³

(в)

Призмы A и B имеют одинаковую площадь поперечного сечения.

Заполните таблицу:

Как найти объем и площадь поверхности шести распространенных форм

Наш мир наполнен трехмерными объектами. Когда дело доходит до знания объема и площади поверхности этих объектов, вам необходимо знать два определения. Площадь поверхности — это площадь всех внешних обращенных поверхностей объекта. Общая площадь поверхности рассчитывается путем сложения всех площадей на поверхности: площадей основания, вершины и боковых поверхностей (боков) объекта.Это делается с использованием различных формул площади и измеряется в квадратных единицах.

Объем — это объем пространства, который занимает трехмерный объект. Существуют также разные формулы для разных трехмерных фигур. Общий объем объекта измеряется в кубических единицах.

Общие формулы для объема и площади поверхности

У нас есть для вас шпаргалка — формулы объема и площади поверхности для обычных форм. Использовать его с умом!

Формулы площади поверхности

Площадь поверхности куба равна 6s² , где s — длина стороны.

Площадь поверхности прямоугольной призмы равна 2(wl + hl + hw) , где w — ширина, h — высота, а l — длина.

Площадь поверхности сферы равна 4πr² , где r — радиус сферы.

Площадь поверхности цилиндра равна 2πrh + 2πr² , где r — радиус цилиндра, а высота — высота.

Площадь поверхности конуса равна πrs + πr² , где r — радиус конуса, а s — наклон.

Формулы объема

Объем куба , где s длина стороны.

Объем прямоугольной призмы равен wlh , где w — ширина, h — высота, а l — длина.

Объем сферы равен ( 4πr³ ) /3 , где r — радиус сферы.

Объем цилиндра равен πr²h , где r — радиус цилиндра, а высота — высота.

Объем конуса равен (πr²h) / 3 , где r — радиус конуса, а s — наклон.

Пример расчета объема и площади поверхности

Чтобы найти площадь поверхности объектов с криволинейной поверхностью, таких как сфера, нет другого выбора, кроме как запомнить формулы объема и площади поверхности. Но для других объектов мы часто можем разбить их на другие узнаваемые многоугольники и формы, объем или площадь поверхности которых мы можем легко найти. Например, в пирамиде вы просто вычисляете площадь основания и добавляете ее к площади поверхности каждой стороны треугольника.

Найдем площадь поверхности и объем квадратной пирамиды с длиной основания 6 дюймов и высотой наклона 5 дюймов.

Площадь поверхности квадратной пирамиды

  1. Чтобы найти общую площадь поверхности, мы сначала исследуем площадь основания, которое представляет собой просто квадрат. Мы знаем, что площадь квадрата равна , где b — длина стороны. В этом случае площадь поверхности составляет 6² или 36 квадратных дюймов.
  2. Далее мы смотрим на четыре стороны, которые представляют собой просто треугольники.Мы знаем, что площадь треугольника составляет всего (bh) / 2 , где b — основание, а h — высота. В этом случае основание треугольника совпадает с основанием пирамиды, б. Высота треугольника равна наклонной высоте пирамиды s. Таким образом, площадь только одной из этих треугольных сторон равна:
  3. .

  1. Когда мы складываем четыре из этих треугольников с площадью квадратного основания, мы получаем общую площадь поверхности b² + 4(bs) / 2, или b² + 2bs для квадратной пирамиды.Подстановка чисел дает нам:

Объем квадратной пирамиды

Объем пирамиды следует формуле объема:

Мы можем подставить наши значения высоты и основания, чтобы получить:

Распознавание объема и площади поверхности

Опять же, площадь поверхности измеряет площадь всех внешних поверхностей объекта, а объем измеряет внутреннее пространство, которое занимает объект.

Вы найдете много реальных случаев, когда полезно вычислить площадь поверхности или объем формы, например, количество воды, необходимое для заполнения бассейна (прямоугольная призма), или количество оберточной бумаги, необходимое для обертывания. свеча (цилиндр) или баскетбольный мяч (сфера).Но всегда есть формулы для самых распространенных форм. Хотя полезно пройтись по формулам, прежде чем вам понадобится их использовать, не думайте, что вам нужно запоминать их все! Просто добавьте этот список в закладки, когда он вам понадобится.

Помощь с домашним заданием по математике

Калькулятор объема

| Pi Day

Калькулятор объема определит объем наиболее распространенных геометрических тел.

Что такое объем?

Объем — это общее пространство внутри твердого тела.{3}\), где r — радиус.

Просто введите размеры в калькулятор, чтобы найти объем. Единицы объема всегда будут кубическими, по сравнению с квадратными единицами площади поверхности.

@mometrixНужен калькулятор объема? Ссылка в био. ##pi ##piday ##volume ##sphere ##math ##mathhelp ##mometrix ##fyp

♬ оригинальный звук – Подготовка к тесту Mometrix

Вычисление объема куба Пример

Вот пример для расчет объема куба.{2}(4)=12\pi\) кубических сантиметров

Можно задаться вопросом, где этот калькулятор может быть полезен в реальных условиях. Это очень важно с точки зрения архитектуры и строительства. Одним из таких примеров является строительство дорог или тротуаров, где необходимо соорудить бетонные плиты. Как правило, бетонные плиты представляют собой прямоугольные тела, поэтому можно использовать калькулятор прямоугольной призмы.

Придерживаясь тематики строительства, площадь поверхности важна при определении количества плитки для укладки прямоугольного пола, обоев на стене или количества краски, необходимой для покрытия всей поверхности здания.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.