Как вычислить площадь неправильного четырехугольника: Площадь неправильного четырехугольника

Содержание

Площадь четырехугольника — формулы, примеры расчета

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Как вычислить площадь четырехугольника с разными сторонами

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Вычисляет площадь неправильного четырехугольника с известными длинами сторон

С завидным упорством некоторые пользователи Planetcalc оставляют запросы на создание калькулятора для расчета площади неправильного четырехугольника, для которого известны только длины сторон. Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор. (Нажмите кнопку «Остановить» для определения площади понравившегося Вам четырехугольника с заданными Вами сторонами).

вычислить площадь четырехугольника

Вы искали вычислить площадь четырехугольника? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и онлайн калькулятор площадь неправильного четырехугольника, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычислить площадь четырехугольника».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить площадь четырехугольника,онлайн калькулятор площадь неправильного четырехугольника,онлайн площадь четырехугольника,площадь неправильного четырехугольника онлайн калькулятор,площадь неправильного четырехугольника по сторонам онлайн калькулятор,площадь четырехугольника вычислить,площадь четырехугольника калькулятор онлайн,площадь четырехугольника онлайн,площадь четырехугольника онлайн калькулятор по сторонам,площадь четырехугольника онлайн по сторонам,площадь четырехугольника по сторонам калькулятор онлайн,площадь четырехугольника по сторонам онлайн,площадь четырехугольника по сторонам онлайн калькулятор,рассчитать площадь неправильного четырехугольника,рассчитать площадь неправильного четырехугольника по сторонам онлайн,рассчитать площадь четырехугольника по сторонам онлайн,расчет площади неправильного четырехугольника. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить площадь четырехугольника. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, онлайн площадь четырехугольника).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить площадь четырехугольника Онлайн?

Решить задачу вычислить площадь четырехугольника вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Многоугольник и его площадь. Вычисление площади неправильного многоугольника

Каждый, кто изучал в школе математику и геометрию, хотя бы поверхностно знает эти науки. Но со временем, если в них не практиковаться, познания забываются. Многие даже считают, что только зря потратили своё время, изучая геометрические расчёты. Однако они ошибаются. Технические работники выполняют повседневную работу, связанную с геометрическими расчётами. Что касается расчета площади многоугольника, то и эти знания находят своё применение в жизни. Понадобятся они хотя бы для того, чтобы рассчитать площадь земельного участка. Итак, давайте узнаем, как найти площадь многоугольника.

Определение многоугольника

Сначала определимся с тем, что такое многоугольник. Это плоская геометрическая фигура, которая образовалась в результате пересечения трех или более прямых. Другое простое определение: многоугольник — это замкнутая ломаная. Естественно, при пересечении прямых образуются точки пересечения, их количество равно количеству прямых, образовывающих многоугольник. Точки пересечения называют вершинами, а отрезки, образованные от прямых, — сторонами многоугольника. Смежные отрезки многоугольника находятся не на одной прямой. Отрезки, являющиеся несмежными, — это те, которые не проходят через общие точки.

Сумма площадей треугольников

Как находить площадь многоугольника? Площадь многоугольника — это внутренняя часть плоскости, которая образовалась при пересечении отрезков или сторон многоугольника. Поскольку многоугольник — это сочетание таких фигур, как треугольник, ромб, квадрат, трапеция, то универсальной формулы для вычисления его площади просто нет. На практике наиболее универсальным является метод разбиения многоугольника на более простые фигуры, нахождение площади которых не вызывают затруднений. Сложив суммы площадей этих простых фигур, получают площадь многоугольника.

Через площадь окружности

В большинстве случаев многоугольник имеет правильную форму и образует фигуру с равными сторонами и углами между ними. Рассчитать площадь в этом случае очень просто при помощи вписанной или описанной окружности. Если известна площадь окружности, то её необходимо умножить на периметр многоугольника, а затем полученное произведение поделить на 2. В итоге получается формула расчёта площади такого многоугольника: S = ½∙P∙r., где P — площадь окружности, а r — периметр многоугольника.

Метод разбиения многоугольника на «удобные» фигуры — самый популярный в геометрии, он позволяет быстро и правильно найти площадь многоугольника. 4 класс средней школы обычно изучает такие методы.

обучающие: научить учащихся находить площадь многоугольника, используя выбранные ими способы, сформировать начальные представления
многоугольнике, графические и измерительные навыки;
развивающие: развитие способов умственной деятельности учащихся при выполнении заданий от наблюдения, расчетов до выяснения закономерностей вычисления площади многоугольника;

воспитывающие: раскрытие субъективного опыта учащихся, поощрение действий, стремлений учащихся как основы воспитания положительных качеств личности;
методическая: создание условий для проявления познавательной активности учащихся.

Оснащение урока:

Оформление доски: слева — фигуры многоугольника, справа — чистое полотно доски для записи на уроке, в центре – многоугольник-прямоугольник.
Листок “К исследованию”.
Инструментарии учителя и учащихся (мел, указка, линейка, листок исследования, фигуры, ватман, маркер).

Метод урока:

По взаимодействию учителя и учащихся – диалог-общение;
По способу решения задач – частично-поисковый;
По способу умственной деятельности — (СУД) развивающее обучение.

Форма урока — фронтальная, в парах, индивидуальная.

Тип урока — урок усвоения новых знаний, умений и навыков.

Структура урока — постепенное углубление в тему, гибкая, диалогическая.

Ход урока

Приветствие.

Урок прекрасен и приносит радость, когда мы мыслим, дружно работаем. Сегодня мы будем рассматривать фигуры, определять их названия, думать, искать и находить решения. Пожелаем друг другу успешной работы.

Актуализация знаний.

Рассмотрите фигуры (на доске многоугольники).

Они все вместе. Почему? Какой у них общий признак? (Многоугольники).

Назовите этот многоугольник (5-угольник, 6-угольник…)

Может быть, вы знаете, что такое площадь многоугольника?

Тогда покажите на одной из фигур.

(Обобщение учителем: площадь — часть плоскости внутри замкнутой геометрической фигуры.)

В русском языке это слово имеет несколько значений.

(Ученик по словарю знакомит со значениями.)

Часть плоскости внутри замкнутой геометрической фигуры.
Большое незастроенное и ровное место.
Помещение для какой-либо цели.

Какое из значений используется в математике?

В математике используется первое значение.

(На доске фигура).

Это многоугольник? Да.

Назовите фигуру по-другому. Прямоугольник.

Покажи длину, ширину.

Как найти площадь многоугольника?

Запишите при помощи букв и знаков формулу.

Если длина нашего прямоугольника 20 см, ширина 10см. Чему равна площадь?

Площадь равна 200 см 2

Подумайте, как приложить линейку, чтобы фигура разделилась на:

Увидели, из каких частей состоит фигура? А теперь, наоборот, по частям соберем целое.

(Части фигуры лежат на партах. Дети собирают из них прямоугольник).

Сделайте вывод по наблюдениям.

Целую фигуру можно разделить на части и из частей составить целую.

Дома на основе треугольников и четырехугольников составляли фигуры, силуэты. Вот какие они получились.

(Демонстрация рисунков, выполненных дома учащимися. Одна из работ анализируется).

Какие фигуры использовал? У тебя получился сложный многоугольник.

Постановка учебной задачи.

На уроке мы должны ответить на вопрос: как найти площадь сложного многоугольника?

Для чего человеку нужно находить площадь?

(Ответы детей и обобщение учителем).

Задача определения площади возникла из практики.

(Показывается план школьного участка).

Для того чтобы построить школу, сначала создали план. Потом разбивалась территория на участки определенной площади, размещались строения, клумбы, стадион. При этом участок имеет определенную форму — форму многоугольника.

Решение учебной задачи.

(Раздаются листы для исследования).

Перед вами фигура. Назовите ее.

Многоугольник, шестиугольник.

Найдем площадь многоугольника. Что для этого надо делать?

Разделить на прямоугольники.

(При затруднении будет другой вопрос: “Из каких фигур состоит многоугольник?”).

Из двух прямоугольников.

С помощью линейки и карандаша разделите фигуру на прямоугольники. Обозначьте цифрами 1 и 2 полученные части.

Проведем измерения.

Найдем площадь первой фигуры.

(Учащиеся предлагают следующие варианты решений и записывают их на доске).

S 1 = 5 ? 2 = 10 см 2
S 2 = 5 ? 1 = 5 см 2

Зная площадь частей, как найти площадь целой фигуры?

S = 10 + 5 = 15 см 2

S 1 = 6 ? 2 = 12 см 2
S 2 = 3 ? 1 = 3 см 2
S = 12 + 3 = 15 см 2 .

Сравните результаты и сделайте вывод.

Проследим наши действия

Как находили площадь многоугольника?

Составляется и записывается на плакате алгоритм:?

1. Делим фигуру на части

2. Находим площади частей этих многоугольников (S 1 , S 2).

3. Находим площадь целого многоугольника (S 1 + S 2).

Проговорить алгоритм.

(Несколько учащихся проговаривают алгоритм).

Мы нашли два способа, а может, есть еще?

А можно фигуру достроить.

Сколько прямоугольников получилось?

Обозначим части 1 и 2. Проведем измерения.

Найдите площадь каждой части многоугольника.

S 1= 6? 5=30см 2
S 2 = 5 ? 3 = 15 см 2

Как найти площадь нашего шестиугольника?

S = 30 – 15 = 15 см 2

Составим алгоритм:

Достроили фигуру до прямоугольника

Нашли S 1 и S 2 .

Нашли разность S 1 – S 2 .

Сравните два алгоритма. Сделайте вывод. Какие действия одинаковые? Где разошлись наши действия?

Закройте глазки, опустите головки. Мысленно повторите алгоритм.

Мы провели исследовательскую работу, рассмотрели разные способы и теперь можем находить площадь любого многоугольника.

Проверка результативности.

Проверьте себя.

Перед вами многоугольники.

Найти площадь одной фигуры по выбору, при этом можете пользоваться разными способами.

Работа выполняется самостоятельно. Дети выбирают фигуру. Находят площадь одним из способов. Проверка – ключ на доске.

Что можно сказать о форме? (Форма разная)

А какова площадь этих многоугольников? (Площади этих многоугольников равны)

Оценивают результаты.

У кого правильно – поставь “+”.

У кого сомнения, затруднения – “?”

Консультанты оказывают помощь ребятам, ищут ошибки, помогают исправить.

Домашнее задание:

Составить свои листки исследования, вычислить площадь многоугольника разными способами.

Итог урока.

Итак, ребята, что вы расскажите родителям, о том как найти площадь геометрической фигуры – многоугольника.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника . На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника , заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и. То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара, ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О .

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S, вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необходимо взять его абсолютное значение.2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)

Определение

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота $BK$ падает на сторону $AD$ , а высота $BH$ — на продолжение стороны $CD$ :

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Проведем перпендикуляры $AB»$ и $DC»$ , как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма $ABCD$ .

Тогда $AB»C»D$ – прямоугольник, следовательно, $S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD$ .

Заметим, что прямоугольные треугольники $ABB»$ и $DCC»$ равны. Таким образом,

$S_{ABCD}=S_{ABC»D}+S_{DCC»}=S_{ABC»D}+S_{ABB»}=S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD.$

\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Пусть $S$ – площадь треугольника $ABC$ . Примем сторону $AB$ за основание треугольника и проведём высоту $CH$ . Докажем, что \ Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$ так, как показано на рисунке:

Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по трем сторонам ($BC$ – их общая сторона, $AB = CD$ и $AC = BD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABDC$), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь $S$ треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма $ABDC$ , то есть $S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH$ .

Теорема

Если два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_2B_2C_2$ имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Пусть $\angle A=\angle A_2$ . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка $A$ совместилась с точкой $A_2$):

Проведем высоты $BH$ и $C_2K$ .

Треугольники $AB_2C_2$ и $ABC_2$ имеют одинаковую высоту $C_2K$ , следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]

Треугольники $ABC_2$ и $ABC$ имеют одинаковую высоту $BH$ , следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или } \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot A_2C_2}{AB\cdot AC}\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть $p$ – полупериметр треугольника, $a$ , $b$ , $c$ – длины его сторон, тогда его площадь равна \

\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ . Обозначим $AO=a, CO=b, BO=x, DO=y$ :

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

$\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}$

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Проведем $CD»\parallel AB$ , как показано на рисунке:

Тогда $ABCD»$ – параллелограмм.

Проведем также $BH»\perp AD, CH\perp AD$ ($BH»=CH$ – высоты трапеции).

Тогда $S_{ABCD»}=BH»\cdot AD»=BH»\cdot BC, \quad S_{CDD»}=\dfrac12CH\cdot D»D$

Т.к. трапеция состоит из параллелограмма $ABCD»$ и треугольника $CDD»$ , то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD»+D»D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Каждый, кто изучал в школе математику и геометрию, хотя бы поверхностно знает эти науки. Но со временем, если в них не практиковаться, познания забываются. Многие даже считают, что только зря потратили своё время, изучая геометрические расчёты. Однако они ошибаются. Технические работники выполняют повседневную работу, связанную с геометрическими расчётами. Что касается расчета площади многоугольника, то и эти знания находят своё применение в жизни. Понадобятся они хотя бы для того, чтобы рассчитать площадь земельного участка . Итак, давайте узнаем, как найти площадь многоугольника.

Определение многоугольника

Сумма площадей треугольников

Как находить площадь многоугольника? Площадь многоугольника — это внутренняя часть плоскости, которая образовалась при пересечении отрезков или сторон многоугольника. Поскольку многоугольник — это сочетание таких фигур, как треугольник, ромб, квадрат, трапеция, то универсальной формулы для вычисления его площади просто нет. На практике наиболее универсальным является метод разбиения многоугольника на более простые фигуры, нахождение площади которых не вызывают затруднений. Сложив суммы площадей этих простых фигур , получают площадь многоугольника.

Через площадь окружности

Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П. было уже в древности… …

У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь плоской фигуры аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное… … Википедия

I Площадь одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П.… … Большая советская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения). Площадь Размерность L² Единицы измерения СИ м² … Википедия

Ж. 1. Часть земной поверхности, пространство, естественно ограниченное или специально выделенное для какой либо цели. отт. Водное пространство. отт. Большое, ровное место, пространство. 2. Ровное незастроенное пространство общественного… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/2 сентября 2012. Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует… … Википедия

Две фигуры в R2, имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M1 и М 2 такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М 1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М 2. Для, равновеликость… … Математическая энциклопедия

В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика. В = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Формула Пика (или теорема Пика) классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь … Википедия

Область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве Е 3. Вся граница выпуклого тела наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная В. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то полная В. п. наз. бесконечной.… … Математическая энциклопедия

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника. Причем он может иметь довольно разнообразную форму — от всем знакомого треугольника до некоторого n-угольника с каким-то невообразимым числом вершин. К тому же эти многоугольники бывают выпуклыми или вогнутыми. В каждой конкретной ситуации полагается отталкиваться от внешнего вида фигуры. Так получится выбрать оптимальный путь решения задачи. Фигура может оказаться правильной, что существенно упростит решение задачи.

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником. По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют?

Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника. В выпуклом всегда все вершины лежат с одной стороны от такой прямой.

В школьном курсе геометрии большая часть времени уделяется именно выпуклым фигурам. Поэтому в задачах требуется узнать площадь выпуклого многоугольника. Тогда существует формула через радиус описанной окружности, которая позволяет найти искомую величину для любой фигуры. В других случаях однозначного решения не существует. Для треугольника формула одна, а для квадрата или трапеции совершенно другие. В ситуациях, когда фигура неправильная или вершин очень много, принято разделять их на простые и знакомые.

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

S = а * н;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), где d 1 и d 2 — диагонали, α — угол между ними;
S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?

Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы.

Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
квадрата: S = 2 * R 2 ;
шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуация с неправильной фигурой

Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
вычислить их площади по любой формуле;
сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?

То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры. Обычно они записываются как (x 1 ; y 1) для первой, (x 2 ; y 2) — для второй, а n-ая вершина имеет такие значения (x n ; y n). Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых. Каждое из них выглядит так: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 — x i). В этом выражении i изменяется от единицы до n.

Стоит отметить, что знак результата будет зависеть от обхода фигуры. При использовании указанной формулы и движении по часовой стрелке ответ будет получаться отрицательным.

Пример задачи

Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Требуется вычислить площадь многоугольника.

Решение. По формуле, указанной выше, первое слагаемое будет равно (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 — 2.1). Здесь нужно просто взять значения для игрека и икса от второй и первой точек. Несложный расчет приведет к результату 1.8.

Второе слагаемое аналогично получается: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 — 3.6) = -2.6. При решении подобных задач не стоит пугаться отрицательных величин. Все идет так, как нужно. Это планомерно.

Подобным образом получаются значения для третьего (0.29), четвертого (-6.365) и пятого слагаемых (2.96). Тогда итоговая площадь равна: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = — 3.915.

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Чаще всего озадачивает то, что в данных имеется только размер клеточки. Но оказывается, что больше сведений не нужно. Рекомендацией к решению такой задачи является разбивание фигуры на множество треугольников и прямоугольников. Их площади довольно просто сосчитать по длинам сторон, которые потом легко сложить.

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними.2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)

Определение

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Тогда $AB»C»D$ – прямоугольник, следовательно, $S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD$ .

Заметим, что прямоугольные треугольники $ABB»$ и $DCC»$ равны. Таким образом,

$S_{ABCD}=S_{ABC»D}+S_{DCC»}=S_{ABC»D}+S_{ABB»}=S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD.$

\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по трем сторонам ($BC$ – их общая сторона, $AB = CD$ и $AC = BD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABDC$ ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь $S$ треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма $ABDC$ , то есть $S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH$ .

Теорема

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Доказательство

Пусть $\angle A=\angle A_2$ . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка $A$ совместилась с точкой $A_2$ ):

Проведем высоты $BH$ и $C_2K$ .

Треугольники $AB_2C_2$ и $ABC_2$ имеют одинаковую высоту $C_2K$ , следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]

Треугольники $ABC_2$ и $ABC$ имеют одинаковую высоту $BH$ , следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть $p$ – полупериметр треугольника, $a$ , $b$ , $c$ – длины его сторон, тогда его площадь равна \

\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]

Замечание

Теорема

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ . Обозначим $AO=a, CO=b, BO=x, DO=y$ :

$\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}$

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Проведем $CD»\parallel AB$ , как показано на рисунке:

Тогда $ABCD»$ – параллелограмм.

Проведем также $BH»\perp AD, CH\perp AD$ ($BH»=CH$ – высоты трапеции).

Тогда $S_{ABCD»}=BH»\cdot AD»=BH»\cdot BC, \quad S_{CDD»}=\dfrac12CH\cdot D»D$

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD»+D»D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой – выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе – непосредственно уже методические особенности изучения площадей.

1.1Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади

четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула (1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади

равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором , египтяне пользовались приближенной формулой:

(1.2) Рис. 1.2 Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и ) к основанию высоты из . Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

Каков хороший алгоритм вычисления площади четырехугольника?

Нет. Я бы использовал формулу в посте, о котором вы упомянули.

Правки:

Чтобы подробно остановиться на этом, метод, представленный в упомянутом вами посте (называемый подходом замкнутых полигонов в ответе Рида Копси) DOES, в конечном итоге разбивает список точек на треугольники и вычисляет их площади с использованием перекрестных произведений. Ему сходит с рук ничего не триангулировать, используя преимущества как положительных, так и отрицательных областей, в соответствии с порядком (намоткой) точек, описывающих многоугольник. Поскольку он использует преимущества как положительных, так и отрицательных областей, этот подход не требует никаких вычислений для линий, составляющих каждый треугольник в четырехугольнике, и не имеет значения, является ли четырехугольник выпуклым или нет.

Тем не менее, проще концептуально понять разбиение четырехугольника на два неперекрывающихся треугольника и независимо вычислить площадь каждого треугольника. Такой подход также всегда даст правильный результат. Сложность этого подхода заключается в том, чтобы решить, какая пара противоположных вершин должна указывать разрыв между двумя треугольниками. Если у вас выпуклый четырехугольник и вы выбрали неправильную триангуляцию, то в итоге вы получите перекрывающиеся треугольники, которые (если их не учитывать) исказят результат области. Если вы проявите некоторую осторожность при вычислении площадей этих треугольников, вы обнаружите, что (в частности, в случае четырехугольника) один треугольник всегда будет содержаться в другом. С некоторой хитростью вы можете заставить площадь содержащегося треугольника иметь противоположный знак площади содержащего треугольника, что снова даст правильный результат.

По сути, эти два алгоритма одинаковы. Разницы в производительности нет; предположим, что quad задан x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3 и y3. Тогда подход с закрытым полигоном имеет следующие операции:

area = 0.5 * abs( x0 * y1 - x1 * y0 + x1 * y2 - x2 * y1 + 
  x2 * y3 - x3 * y2 + x3 * y0 - x0 * y3 )

Который может быть упрощен следующим образом:

area = 0.5 * abs( x0 * (y1 - y3) + x1 * (y2 - y0) + x2 * (y3 + y1) + 
  x3 * (y0 - y2) )

Что приводит к (подсчитайте *’s и +’s) 12 операций в целом. Другой подход, нахождение каждого отдельного треугольника и взятие перекрестного произведения, работает следующим образом:

x2_line = x2 - x0
y2_line = y2 - y0
area = 0.5 * abs( (x1 - x0) * y2_line + (y1 - y0) * x2_line + 
  x2_line * (y3 - y0) + y2_line * (x3 - x0) )

Который снова может быть упрощен до:

x2_line = x2 - x0
y2_line = y2 - y0
area = 0.5 * abs( y2_line * (x1 - x0 + x3 - x0) + x2_line * (y1 - y0 + y3 - y0) )

Который также работает до 12 операций. Точно такое же количество операций.

Таким образом, самая большая разница заключается в том, что триангуляция, за которой следует вычисление площади перекрестного продукта, легче понять, поскольку она очень проста, в то время как подход с закрытыми полигонами на самом деле представляет собой тот же алгоритм, но оптимизирован и, следовательно, представлен по-другому.

В заключение, да, формула в упомянутом вами посте является наиболее эффективной из всех, которые у вас есть, и в то же время является самым простым алгоритмом, если представить ее по-другому.

Онлайн калькулятор. Площадь четырехугольника — Лучший друг песня

Онлайн калькулятор. Площадь четырехугольника

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь четырехугольника.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади четырехугольника, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор

Инструкция

Теория

Найти площадь четырехугольника

Выберите известные величины:

Введите данные:

d1 =

d2 =

α =

Площадь в

Вводить можно числа или дроби (-2. 4, 5/7,… ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как найти площадь неравностороннего прямоугольника

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн.

Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2, м 2, см 2, мм 2 и т. д.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться нашим «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57, 296°

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Вычисляет площадь неправильного четырехугольника с известными длинами сторон

Как найти площадь четырехугольника

Вам дана задача, в которой требуется найти площадь четырехугольника, а вы даже не знаете, что такое четырехугольник? Не волнуйтесь, эта статья вам поможет! Четырехугольник — это любая фигура с четырьмя сторонами. Для вычисления площади четырехугольника нужно определить тип четырехугольника, который вам дан, и воспользоваться соответствующей формулой.

Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

Определение параллелограмма. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это параллелограммы.

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Площадь прямоугольника. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его ширину (короткая сторона; представьте ее как высоту) и длину (длинная сторона; представьте ее как сторону, к которой проведена высота). Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

‘Площадь = длина х высота, или S = a х h.

Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.

Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).

Площадь квадрата. Квадрат — это частный случай прямоугольника, поэтому используйте ту же формулу, что и для нахождения площади прямоугольника. Но в квадрате все стороны равны, поэтому площадь квадрата равна любой из его сторон, возведенной в квадрат (то есть умноженной саму на себя). [1]

Площадь = сторона х сторона, или S = a2.

Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.

Площадь ромба равна произведению его диагоналей, разделенной на два. Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины ромба. [2]

Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2

Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.

Площадь ромба также можно найти, если умножить его сторону на высоту, опущенную на эту сторону. Но не путайте высоту со смежной стороной. Высота — это прямая, опущенная из любой вершины ромба на противоположную сторону, и пересекающая противоположную сторону под прямым углом.

Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.

Формулы для вычисления площадей ромба и прямоугольника применимы к квадратам, так как квадрат — это частный случай как прямоугольника, так и ромба.

Площадь = сторона х высоту, или S = a × h

Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2

Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.

Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

Трапеция

Определение трапеции. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Каждая из четырех сторон трапеции может быть разной длины.

Есть два способа вычисления площади трапеции (в зависимости от данных значений).

Найдите высоту трапеции. Высота трапеции — отрезок, соединяющий параллельные стороны (основания) и пересекающий их под прямым углом (высота не равна боковым сторонам). Вот как найти высоту трапеции:[3]

Из точки пересечения меньшего основания и боковой стороны проведите перпендикуляр к большему основанию. Этот перпендикуляр и есть высота трапеции.

Чтобы вычислить высоту, используйте тригонометрию. Например, если вы знаете боковую сторону и прилегающий к ней угол, то высота равна произведению боковой стороны на синус прилегающего угла.

Найдите площадь трапеции, используя высоту. Если вы знаете высоту трапеции и оба основания, используйте следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь = (основание1 + основание2)/2 × высота, или S = (a+b)/2 × h

Пример: если высота трапеции равна 2 см, а основания трапеции равны 7 см и 11 см, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 11)/2 * 2 = 18 квадратных сантиметров.

Если высота трапеции равна 10, а основания трапеции равны 7 и 9, то площадь этой трапеции: S = (a+b)/2 * h = (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80.

Найдите площадь трапеции, используя среднюю линию. Средняя линия — это отрезок, параллельный основаниям и делящий боковые стороны пополам. Средняя линия равна среднему значению от обоих оснований (a и b): средняя линия = (a+b)/2.

Площадь = средняя линия х высота, или S = m × h

По сути, здесь вы используете формулу для нахождения площади трапеции по двум основаниям, но вместо (a+b)/2 подставлена m (средняя линия).

Пример: если средняя линия трапеции равна 9 см, то площадь этой трапеции: S = m*h = 9 х 2 = 18 квадратных сантиметров (вы получили тот же ответ, что и в предыдущем шаге).

Дельтоид

Определение дельтоида. Дельтоид — это четырехугольник с двумя парами сторон одинаковой длины.

Есть два способа вычисления площади дельтоида (в зависимости от данных значений).

Найдите площадь дельтоида, используя формулу для нахождения площади ромба (с использованием диагоналей), так как ромб — это частный случай дельтоида, у которого все стороны равны. Напомним, что диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Пример: если диагонали дельтоида равны 19 см и 5 см, то площадь этого дельтоида: S = (19 х 5)/2 = 47, 5 квадратных сантиметров.

Если вы не знаете длины диагоналей и не можете их измерить, используйте тригонометрию, чтобы вычислить их. Прочтите эту статью, чтобы узнать больше информации.

Найдите площадь дельтоида, используя неравные стороны и угол между ними. Если вы знаете неравные стороны и угол между этими сторонами (θ), то площадь дельтоида вычисляется с помощью тригонометрии по формуле:[4]

Площадь = (сторона1 х сторона2) х sin (угол), или S = (a × b) × sin(θ), где θ — угол между неравными сторонами.

Пример: Если стороны дельтоида равны 4 см и 6 см, а угол между ними равен 120 градусам, то площадь дельтоида равна (6 х 4) х sin120 = 24 х 0, 866 = 20, 78 квадратных сантиметров.

Обратите внимание, что вы должны использовать две неравные стороны и угол между ними; если вы используете две равные стороны и угол между ними, вы получите неправильный ответ.

Четырехугольник произвольной формы

Если вам дан четырехугольник произвольной формы, то даже для таких четырехугольников существуют формулы для вычисления их площадей. Обратите внимание, что такие формулы требуют знания тригонометрии.

Во-первых, найдите длины всех четырех сторон. Обозначим их через a, b, c, d (а напротив с, а b напротив d).

Пример: дан четырехугольник произвольной формы со сторонами 12 см, 9 см, 5 см и 14 см.

Найдите угол А между сторонами а и d и угол С между сторонами b и с (вы можете найти любые два противолежащих угла).

Пример: в нашем четырехугольнике А = 80 градусов и C = 110 градусов.

Представьте, что существует отрезок, соединяющий вершины, образованные сторонами а и b и сторонами с и d. Этот отрезок разделит четырехугольник на два треугольника. Так как площадь треугольника равна 1/2absinC, где C — угол между сторонами a и b, вы можете найти площади двух треугольников и сложить их, чтобы вычислить площадь квадрата.

Площадь = 0, 5 х сторона1 х сторона4 х sin(угол между стороной1 и стороной4) + 0, 5 х сторона2 х сторона3 х sin(угол между стороной2 и стороной3), или

Площадь = 0, 5 a × d × sin A + 0, 5 × b × c × sin C

Пример: вы нашли стороны и углы, поэтому просто подставьте их в формулу.

= 0, 5 (12 × 14) × sin (80) + 0, 5 × (9 × 5) × sin (110)

= 84 × sin (80) + 22, 5 × sin (110)

= 84 × 0, 984 + 22, 5 × 0, 939

= 82, 66 + 21, 13 = 103, 79 квадратных сантиметров.

Обратите внимание, что если вы пытаетесь найти площадь параллелограмма (у которого противоположные углы равны), то формула примет вид: площадь = 0. 5*(ad + bc) * sin A

Об этой статье

Эту страницу просматривали 381 386 раз.

Была ли эта статья полезной?

Поделиться ссылкой:

Похожее

Как вычислить площадь многоугольника формула. Как найти площадь многоугольника

Все, что имеет больше двух углов, является многоугольником, в том числе и треугольник. Рассмотрим, как найти площадь многоугольников.

Как найти площадь многоугольника — треугольник

S = 1/2×h×b, где h — высота, а b — сторона.
S = 1/2 a×b×sinα, где а и b — стороны треугольника, а sinα — синус угла между ними.
S = √p×(p-a)×(p-b)×(p-c), где p — половина периметра, а, b, c — стороны. Если известны все стороны треугольника, то найти площадь можно именно по этой формуле.
S = r×p, где r — радиус вписанной окружности, а p — половина периметра. Если в треугольник вписана окружность, то для нахождения площади можно использовать эту формулу.
S = abc/4R, где a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности. Если треугольник вписан в окружность, для нахождения площади треугольника можно использовать эту формулу.

Прямоугольный треугольник

S = 1/2×ab, где a и b — катеты прямоугольного треугольника.
S = d×e, где d и e отрезки гипотенузы, образованные при касании вписанной окружности об гипотенузу.
S = (p-a)×(p-b), где p — половина периметра, а и b — катеты.

Равнобедренный треугольник

S = 1/2×a²×sina, где а — бедро треугольника, sina же — угол между бедрами.
S = b²/4tgα/2, где b — основание треугольника, а tgα — угол между бедрами.

Равносторонний треугольник

S = √3×a²/4, где а — сторона треугольника (любая, так как в равностороннем треугольнике все стороны равны).
S = 3√3×R²/4, где R — радиус окружности, в которую вписан треугольник.
S = 3√3×r², где r — радиус окружности, которая вписана в треугольник.
S = h²/√3, где h — высота равностороннего треугольника.

Как найти площадь многоугольника — квадрат

S = a², а — сторона квадрата. Так как все стороны квадрата равны, достаточно умножить одну его сторону на другую.
S = d²/2, где d — диагональ квадрата.

Как найти площадь многоугольника — прямоугольник

S = a×b, где a и b — стороны прямоугольника. Так как противолежащие стороны в прямоугольнике равны, достаточно умножить одну его сторону (длину) на не противолежащую, перпендикулярную сторону (ширину).
S = a²+b²=c², где a — ширина, b — длина, а c — диагональ. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника и если в условии задачи дана одна сторона прямоугольника и его диагональ, несложно будет найти и третью сторону, использую теорему Пифагора. После того как мы найдем эту сторону, ищем площадь по стандартной формуле a×b. Пример: Ширина прямоугольника — 3см, диагональ — 5 см. Найти площадь. Пишем 3² + x² = 5². x² = 16 => x = 4. S = a×b = 3×4=12. Ответ: S прямоугольника = 12см²

Как найти площадь многоугольника — трапеция

S = (a+b)×h/2, где a — маленькое, b — большое основание трапеции, h — высота.
S = h×m, где h — высота, m — средняя линия трапеции, равная половине суммы оснований — 1/2×(a+b).
S = 1/2×d1×d2×sinα, где d1 и d2 — диагонали трапеции, а sinα — синус угла между ними.
S = a+b/2×√c²-((b-a)²+c²-d²/2(b-a))², где a и b — основания трапеции, c и d — остальные две стороны.

Равнобедренная трапеция

S = 4r²/sinα, где r — радиус вписанной окружности, а sinα — синус угла между стороной и основанием.

Площадь правильного многоугольника

S = r×p = 1/2×r×n×a, где r — радиус вписанной окружности, p — половина периметра. Для того чтобы найти площадь любого правильного многоугольника, нужно разбить его на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.
S = n×a²/4tg(360°/2n), где n — число сторон правильного многоугольника, а — длина стороны.
Также вычислить площадь правильного многоугольника поможет данный онлайн сервис . Просто вставьте нужное значение и получите ответ.

Площадь неправильного многоугольника

Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
Складываем все значение, получаем какое-то число.

Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.

От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.

Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.

Как найти площадь многоугольника?

Многоугольник – это плоская или выпуклая фигура, которая состоит из пересеченных прямых (больше 3-х) и образует большое количество точек пересечения линий. Еще многоугольник можно определить как ломаную линию, которая замыкается. По-другому точки пересечения можно назвать вершинами фигуры. В зависимости от количества вершин фигура может называться пятиугольником, шестиугольником и так далее. Угол многоугольника – это угол, который образовывается сторонами, сходящимися в одной вершине. Угол находится внутри многоугольника. Причем углы могут быть разными, вплоть до 180 градусов. Есть также и внешние углы, которые обычно являются смежными внутренним.

Прямые линии, которые впоследствии пересекаются, называются сторонами многоугольника. Они могут быть соседними, смежными и не смежными. Очень важной характеристикой представленной геометрической фигуры является то, что несмежные ее стороны не пересекаются, а значит, не имеют общих точек. Смежные стороны фигуры не могут находиться на одной прямой. Те вершины фигуры, которые принадлежат одной и той же прямой, можно назвать соседними. Если провести линию между двумя вершинами, не являющимися соседними, то получится диагональ многоугольника. Что касается площади фигуры, — это внутренняя часть плоскости геометрической фигуры с большим количеством вершин, которая создается разделяющими ее отрезками многоугольника.

Как найти площадь многоугольника? Какого-либо одного решения для определения площади представленной геометрической фигуры нет, так как вариантов фигуры может быть бесконечное множество и для каждого варианта существует свое решение. Однако некоторые самые частые варианты нахождения площади фигуры все же нужно рассмотреть (они чаще всего используются на практике и включены даже в школьную программу). Прежде всего, рассмотрим правильный многоугольник, то есть такую фигуру, в которой все углы, образованные равными сторонами, являются также равными. Итак, как найти площадь многоугольника в конкретном примере? Для этого случая нахождение площади многоугольной фигуры возможно, если дан радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг нее. Для этого можно воспользоваться следующей формулой: S = ½∙P∙r, где r – радиус окружности (вписанной или описанной), а P – является периметром геометрической многоугольной фигуры, которую можно узнать, умножив количество сторон фигуры на их длину.

Как находить площадь многоугольника

Чтобы ответить на вопрос, как находить площадь многоугольника, достаточно следовать следующему интересному свойству многоугольной фигуры, в свое время нашел известный австрийский математик – Георг Пик. Например, по формуле S = N + M/2 -1 можно найти площадь такого многоугольника, вершины которого размещены в узлах квадратной сетки. При этом S – это, соответственно, площадь; N – количество узлов квадратной сетки, которые разместились внутри фигуры с множеством углов; M – количество тех узлов квадратной сетки, которые разместились на вершинах и сторонах многоугольника. Однако, несмотря на свою красоту, формула Пика практически не применяется в практической геометрии. Как найти площадь многоугольника? Самым простым и известным методом определения площади, который изучают в школе, является разделение многоугольной геометрической фигуры на более простые части (трапеции, прямоугольники, треугольники). Найти площадь этих фигур не трудно. В этом случае площадь многоугольника определяется просто: нужно найти площади всех тех фигур, на которые разделен многоугольник. В основном определение площади многоугольника определяется в механике (размеры деталей).

Определение многоугольника

Сумма площадей треугольников

Через площадь окружности

\[{\Large{\text{Основные факты о площади}}}\]

Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина, обозначающая часть плоскости, которую занимает данный многоугольник.2 \Rightarrow S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)

Определение

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Тогда $AB»C»D$ – прямоугольник, следовательно, $S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD$ .

Заметим, что прямоугольные треугольники $ABB»$ и $DCC»$ равны. Таким образом,

$S_{ABCD}=S_{ABC»D}+S_{DCC»}=S_{ABC»D}+S_{ABB»}=S_{AB»C»D}=AB»\cdot AD.$

\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Треугольники $ABC$ и $DCB$ равны по трем сторонам ($BC$ – их общая сторона, $AB = CD$ и $AC = BD$ как противоположные стороны параллелограмма $ABDC$ ), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь $S$ треугольника $ABC$ равна половине площади параллелограмма $ABDC$ , то есть $S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH$ .

Теорема

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Доказательство

Пусть $\angle A=\angle A_2$ . Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка $A$ совместилась с точкой $A_2$ ):

Проведем высоты $BH$ и $C_2K$ .

Треугольники $AB_2C_2$ и $ABC_2$ имеют одинаковую высоту $C_2K$ , следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]

Треугольники $ABC_2$ и $ABC$ имеют одинаковую высоту $BH$ , следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть $p$ – полупериметр треугольника, $a$ , $b$ , $c$ – длины его сторон, тогда его площадь равна \

\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]

Замечание

Теорема

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ . Обозначим $AO=a, CO=b, BO=x, DO=y$ :

$\begin{multline*} S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}$

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Проведем $CD»\parallel AB$ , как показано на рисунке:

Тогда $ABCD»$ – параллелограмм.

Проведем также $BH»\perp AD, CH\perp AD$ ($BH»=CH$ – высоты трапеции).

Тогда $S_{ABCD»}=BH»\cdot AD»=BH»\cdot BC, \quad S_{CDD»}=\dfrac12CH\cdot D»D$

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD»+D»D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Немного теории о многоугольниках

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Какие их виды существуют?

Как поступить, если фигура имеет три или четыре вершины?

В первом случае он окажется треугольником, и можно воспользоваться одной из формул:

S = 1/2 * а * н, где а — сторона, н — высота к ней;
S = 1/2 * а * в * sin (А), где а, в — сторон\ы треугольника, А — угол между известными сторонами;
S = √(p * (p — а) * (p — в) * (p — с)), где с — сторона треугольника, к уже обозначенным двум, р — полупериметр, то есть сумма всех трех сторон, разделенная на два.

Фигура с четырьмя вершинами может оказаться параллелограммом:

S = а * н;
S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), где d 1 и d 2 — диагонали, α — угол между ними;
S = a * в * sin(α).

Формула для площади трапеции: S = н * (a + в) / 2, где а и в — длины оснований.

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин?

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), где n — количество вершин многоугольника.

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

треугольника: S = (3√3)/4 * R 2 ;
квадрата: S = 2 * R 2 ;
шестиугольника: S = (3√3)/2 * R 2 .

Ситуация с неправильной фигурой

разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
вычислить их площади по любой формуле;
сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника?

Пример задачи

Совет по решению задачи, для которой многоугольник изображен на бумаге в клетку

Но часто есть более простой подход. Он заключается в том, чтобы дорисовать фигуру до прямоугольника и вычислить значение его площади. Потом сосчитать площади тех элементов, которые оказались лишними. Вычесть их из общего значения. Этот вариант порой предполагает несколько меньшее число действий.

Площадь любого неправильного четырехугольника

Плоская фигура, ограниченная четырьмя отрезками прямых, называется неправильным четырехугольником. Площадь любого неправильного четырехугольника можно вычислить, разделив его на треугольники.

Пример :

Найдите площадь четырехугольника $$ ABCD $$, стороны которого равны $$ 9 $$ м, $$ 40 $$ м, $$ 28 $$ м и $$ 15 $$ м соответственно, а угол между первыми двумя сторонами является прямым. угол.2}} = \ sqrt {1681} = 41 \\ \ end {собрано} \]

Теперь площадь $$ \ Delta ABD = \ frac {1} {2} \ times 40 \ times 9 = 180 $$ m
In $$ \ Delta BCD $$, $$ BD = a = 41 $$ m, $$ DC = b = 28 $$ m, $$ CB = c = 15 $$ m
$$ \ поэтому s = \ frac {{a + b + c}} {2} = \ frac {{41 + 28 + 15}} {2} = 42 $$ m

Теперь
\ [\ begin {gather} {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \, \\ {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {42 (42 — 41) (42 — 28) (42 — 15)} = \ sqrt {42 \ times 14 \ times 27} = 126 \, sq \, m \\ \ end {собрано} \]

Площадь четырехугольника $$ ABCD $$$$ = $$ Площадь $$ \ Delta ABD $$ $$ + $$ Площадь $$ \ Delta BCD $$
Площадь четырехугольника $$ ABCD $$ $$ = (180 + 126) = 306 $$ квадратных метров.

Пример :

В четырехугольнике диагональ составляет $$ 42 $$ см, а два перпендикуляра на нем от других вершин — $$ 8 $$ см и $$ 9 $$ см соответственно. Найдите площадь четырехугольника.

Решение :

Учитывая, что из рисунка $$ AC = 42 $$ м, $$ BN = 9 $$ м, $$ DM = 8 $$ м
Площадь $$ ABCD = $$ площадь $$ \ Delta ABC + $$ область $$ \ Delta ACD $$
Площадь $$ ABCD $$$$ = \ frac {1} {2} \ times 9 \ times 42 + \ frac {1} {2} \ times 8 \ умножить на 42 = 189 + 168 = 357 $$ кв.

неправильные четырехугольники | Площадь, определение и видео // Tutors.com

Содержание

Иногда жизнь проста и понятна. Квадраты привычны и удобны, регулярны и предсказуемы. С другой стороны, прямоугольники, трапеции, воздушные змеи и другие необычные четырехугольники не так просты. Для неправильных четырехугольников даже такая простая задача, как определение их площади, может стать проблемой.

Четырехугольник Определение
Правильный четырехугольник
Неправильные четырехугольники
Площадь неправильных четырехугольников
Площадь очень неправильных четырехугольников

Четырехугольник

Напомним, четырехугольник (латинское: «четыре стороны» ) — это двухмерная плоская фигура, которая использует четыре отрезка линии, чтобы ограничить пространство.Поскольку определение очень широкое, многие общие формы представляют собой четырехугольники:

Квадраты
Прямоугольники
Трапеции
Параллелограммы
Воздушные змеи
Ромбы

Правильный четырехугольник

Из длинного списка только квадрат является правильным четырехугольником . У правильных многоугольников совпадающие стороны и углы. Вы можете легко увидеть, что прямоугольник может иметь четыре внутренних угла 90 °, но у него не обязательно должны быть четыре стороны равной длины.

Неправильные четырехугольники

Что такое неправильный четырехугольник ? Неправильные четырехугольники: прямоугольник, трапеция, параллелограмм, воздушный змей и ромб. Они симметричны, но не обязательно должны иметь совпадающие стороны или углы. Однако не отчаивайтесь, потому что некоторые из них поддаются формулам площади, как и квадрат.

В дополнение к симметричным неправильным четырехугольникам могут существовать другие неправильные четырехугольники без симметрии, только с четырьмя неравными сторонами:

[вставить рисунок неправильного четырехугольника MATH с обозначенными сторонами MA = 7 см, AT = 3 см, TH = 12 см, HM = 14 см]

Площадь неправильных четырехугольников

Вычислить площадь (в квадратных единицах) для квадрата и прямоугольника очень просто:

A = Ширина x Длина (Ш x Д), что для квадрата означает то же, что и W ^ 2.

Если у вас есть квадрат со сторонами 17 см, его площадь составляет 289 см2. Если у вас есть прямоугольник с двумя сторонами 17 см и двумя сторонами 34 см, площадь будет 17 x 34 = 578 квадратных см.

Вычислить площадь для большинства других неправильных четырехугольников может быть непросто. Площадь параллелограмма или ромба, например, равна его высоте (или высоте), а не длине его короткой стороны, умноженной на его основание. Для трапеции вы должны найти среднее значение двух оснований и умножить это значение на высоту трапеции.

Воздушный змей , который имеет две смежные короткие стороны и две смежные длинные стороны, имеет формулу площади, основанную на его диагоналях, d1 и d2:

Площадь очень

Неровные Четырёхугольники

Наш предыдущий пример неправильного четырехугольника, MATH, показывает, что четыре стороны не гарантируют симметричную форму. Чтобы найти площадь таких неправильных четырехугольников, следуйте трехэтапной стратегии:

Разделите четырехугольник на два треугольника, построив диагональ, которая не нарушает известный внутренний угол.
Рассчитайте площадь каждого треугольника по формуле
Складываем площади двух треугольников

Для нашего четырехугольника MATH соединение вершины A с вершиной H разбивает фигуру на △ MAH и △ ATH.Вы не знаете высоты h ни одного из треугольников, поэтому вы не можете рассчитать площадь, используя 1 / 2bh.

Вместо этого проявите немного творчества (математика полна творчества), основывая один факт на другом. В нашем четырехугольнике MATH, если мы знаем один угол, мы можем использовать эти четыре шага, чтобы найти общую площадь:

Зная, что включенный угол T составляет 120 °, вы можете использовать Side-Angle-Side, чтобы найти площадь △ ATH
Зная площадь △ ATH, вы можете использовать закон косинусов для вычисления неизвестной длины диагонали AH
Зная длину диагонали AH, вы можете использовать формулу Герона для вычисления площади △ MAH
Зная площади двух треугольников, сложите их, чтобы получить площадь неправильного четырехугольника

Обратите внимание, что вы должны работать последовательно, и для начала у вас должны быть некоторые основные факты.2 = 189

t ≈ 13,747 см

Теперь у нас есть приблизительная длина стороны AH, равная 13,747 см, поэтому мы можем использовать Формулу Герона , чтобы вычислить площадь другой части нашего четырехугольника.

Используйте формулу Герона

Формула Герона зависит от знания полупериметра или половины периметра треугольника. Для нашего △ MAH размер трех сторон:

MA = 7 см
AH = 13,747 см
HM = 14 см

Полупериметр s , это половина суммы сторон:

s = ½ (7 см + 13.2

С точностью до тысячных квадратного сантиметра мы имеем площадь четырехугольника MATH!

Краткое содержание урока

Теперь, когда вы полностью изучили урок, вы можете определять четырехугольники, различать правильные и неправильные четырехугольники, а также вспоминать и объяснять отличительные свойства правильных и неправильных четырехугольников. Теперь вы также можете применить формулу длина-ширина в качестве формулы для вычисления площади правильных и некоторых неправильных четырехугольников, и, когда формула длины-ширины не может применяться, найти площадь неправильных четырехугольников, используя другие стратегии, в том числе с помощью закона косинусов и формулы Герона.

Следующий урок:

Что такое четырехугольник?

неправильные четырехугольники: определение и площадь — видео и стенограмма урока

Площадь неправильного четырехугольника

Предположим, мы хотим разместить стеклянную панель в окне, но нам нужно определить ее размер. Другими словами, мы хотим знать площадь окна. В данном случае мы имеем дело с прямоугольником длиной 5 футов и шириной 2 фута. У нас есть хорошо известная формула для вычисления площади прямоугольника: длина, умноженная на ширину.Следовательно, мы находим площадь нашего окна, умножая 5 футов на 2 фута, чтобы получить 10 квадратных футов.

Площадь = длина × ширина = 5 × 2 = 10

Это размер стеклянной панели, которая нам нужна для окна.

Это был действительно простой процесс. Это здорово, когда мы работаем с неправильным четырехугольником, который имеет красивую формулу площади, как это было у этого прямоугольного окна.

Однако, поскольку все неправильные четырехугольники разные, у нас нет хорошей универсальной формулы, которую мы могли бы использовать для всех из них.Когда дело доходит до определения площади неправильного четырехугольника, для которого нет известной формулы площади, хорошей стратегией является использование следующих шагов:

Разделите четырехугольник на два треугольника, нарисовав диагональ.
Используйте различные формулы и свойства, чтобы найти площадь каждого из треугольников.
Сложите площади треугольников.

Звучит достаточно просто, но это может быть немного сложно. Давайте рассмотрим пример этого.

Пример неправильного четырехугольника

Предположим, мы хотим найти площадь показанного неправильного четырехугольника.

Хммм… ну, первый шаг в нашей стратегии достаточно прост. Мы просто разбиваем четырехугольник на два треугольника, рисуя диагональ.

Теперь все становится сложнее. Мы не можем использовать формулу для площади треугольника (1/2) (основание) (высота), так как мы не знаем высоты треугольников.Как говорится на втором этапе нашей стратегии, нам нужно будет использовать различные правила и свойства, чтобы найти их области. В данном случае это следующие:

Метод SAS : Площадь треугольника с двумя соседними сторонами длиной a и b , а угол θ, являющийся углом между этими сторонами, равен 1/2 ab грех (θ).

Закон косинусов : В треугольнике со сторонами a , b и c и углами A , B и C , противоположными их соответствующим сторонам, мы имеем следующие отношения:

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab cos ( C )
b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac cos ( B )
a 2 = b 2 + c 2 — 2 до н.э. cos ( A )

Я знаю, что это выглядит много, но это просто показывает, насколько это может быть связано.

Обратите внимание, что в нашем неправильном четырехугольнике мы можем найти площадь треугольника ABC с помощью метода SAS с a = 3, b = 12 и θ = 120 градусов.

1/2 ab sin (θ) = (1/2) (3) (12) sin (120) ≈ 15,6

Отлично! У нас есть площадь одного из наших треугольников.

Если мы сможем найти длину диагонали, у нас будут все стороны треугольника ACD , поэтому мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь.Чтобы найти длину диагонали, мы можем использовать закон косинусов с a = 3, b = 12 и C = 120, а затем решить относительно c .

Получаем, что длина диагонали примерно 13,75 единицы. Теперь мы просто используем формулу Герона с a = 7, b = 14 и c = 13,75. Сначала находим s .

с = ( a + b + c ) / 2 = (7 + 14 + 13.75) / 2 = 17,375

Теперь мы используем формулу, чтобы найти площадь треугольника ACD :

Получаем, что площадь треугольника ACD составляет примерно 47 квадратных единиц. Наконец, мы просто складываем площади двух треугольников:

Площадь четырехугольника ABCD = 15,6 + 47 = 62,6

Та-да! Площадь неправильного четырехугольника составляет 62,6 квадратных единицы. Уф! Это был процесс, но мы его сделали!

Резюме урока

Давайте уделим пару минут тому, чтобы повторить, что мы узнали о четырехугольниках, как правильных, так и неправильных, и о том, как определить площадь неправильных четырехугольников.

Четырехугольник имеет четырехугольную и четырехугольную форму.

Правильный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину.

Неправильный четырехугольник — это четырехугольник, который не является правильным, поэтому все его стороны не имеют одинаковой длины.

У некоторых неправильных четырехугольников, таких как воздушный змей или прямоугольник, есть красивые формулы для их площадей. Однако у некоторых неправильных четырехугольников нет формулы площади.В этом случае хорошая стратегия поиска области выглядит следующим образом:

Разделите четырехугольник на два треугольника.
Используйте формулы и свойства, чтобы найти площади каждого треугольника.
Сложите площади треугольников.

Шаг второй является самым сложным, потому что существует ряд различных сценариев, и каждый из них требует различных формул и свойств для определения площадей треугольников. Чем больше мы практикуемся с этими типами четырехугольников, тем легче это становится, так что продолжайте практиковаться!

Площадь четырехугольника — определение, формула и примеры

Площадь четырехугольника — это площадь внутри него.Напомним, что такое четырехугольник. Четырехугольник — это замкнутая форма, ограниченная четырьмя отрезками прямых. Четырехугольник может быть правильным или неправильным. Правильный четырехугольник — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Неправильный четырехугольник называется неправильным четырехугольником. Четырехугольники бывают 6 видов.

квадрат
прямоугольник
параллелограмм
трапеция
ромб
воздушный змей

На этой странице мы увидим, как найти площадь четырехугольника, разделив его на два треугольника, и как найти площадь четырехугольника, используя его 4 стороны.Кроме того, мы изучим формулы для определения площади каждого из этих четырехугольников разных типов.

Что такое площадь четырехугольника?

Площадь четырехугольника — это не что иное, как область, ограниченная сторонами четырехугольника. Она измеряется в квадратных единицах, таких как м ², в ², см ² и т. Д. Процесс определения площади четырехугольника зависит от его типа и имеющейся информации о четырехугольнике.Если четырехугольник не принадлежит ни к одному из упомянутых выше типов, то мы можем найти его площадь, либо разделив его на два треугольника, либо используя формулу (которая называется формулой Бретшнайдера) нахождения площади четырехугольника используя четыре стороны. Здесь вы можете увидеть формулы для определения площади четырехугольника, не принадлежащего ни к одному из стандартных типов.

Давайте узнаем больше об этих формулах в следующих разделах.

Площадь четырехугольной формулы, разделенная на два треугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором длина диагонали BD, как известно, равна «d».ABCD можно разделить на два треугольника диагональю BD. Чтобы найти его площадь, мы должны знать высоту треугольников ABD и BCD. Предположим, что высоты треугольников BCD и ABD равны \ (h_1 \) и \ (h_2 \) соответственно. Мы найдем площадь четырехугольника ABCD, сложив площади треугольников BCD и ABD.

Здесь площадь треугольника BCD = (1/2) × d × \ (h_1 \).

Площадь треугольника ABD = (1/2) × d × \ (h_2 \).

Из приведенного выше рисунка площадь четырехугольника ABCD = площадь ΔBCD + площадь ΔABD.

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD = (1/2) × d × \ (h_1 \) + (1/2) × d × \ (h_2 \) = (1/2) × d × (\ (h_1 + h_2 \)).

Таким образом, формула, используемая для определения площади четырехугольника, когда заданы одна из его диагоналей и высота треугольников (образованных данной диагональю), равна,

Площадь = (1/2) × Диагональ × (Сумма высот)

Площадь четырехугольной формулы с использованием сторон

Когда указаны стороны четырехугольника и два его противоположных угла, мы можем найти его площадь, используя формулу Бретшнейдера.{2} \ frac {\ theta} {2}} \), где

s = полупериметр четырехугольника = (a + b + c + d) / 2
θ = θ \ (_ 1 \) + θ \ (_ 2 \)

Площадь четырехугольника по формуле Герона

По формуле Герона, площадь треугольника с 3 сторонами a, b и c равна \ (\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \), где ‘s’ — это полупериметр треугольник, т. е. s = (a + b + c) / 2. Чтобы найти площадь четырехугольника по формуле Герона,

Разделите его на два треугольника по диагонали (используйте диагональ, длина которой известна).
Примените формулу Герона для каждого треугольника, чтобы найти его площадь.
Добавьте площади двух треугольников, что даст площадь четырехугольника.

Формулы площади четырехугольников разных типов

Мы уже узнали, что существует 6 типов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей. У нас есть специальная формула для определения площади каждого из этих четырехугольников.Посмотрим на них.

Площадь четырехугольника в координатах

Площадь четырехугольника можно вычислить, если известны координаты его вершин. Рассмотрим четырехугольник в координатной плоскости, как показано ниже,

В данном четырехугольнике A (x \ (_ 1 \), y \ (_ 1 \)), B (x \ (_ 2 \), y \ (_ 2 \)), C (x \ (_ 3 \), y \ (_ 3 \)) и D (x \ (_ 4 \), y \ (_ 4 \)) — вершины.

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, возьмем вершины A (x \ (_ 1 \), y \ (_ 1 \)), B (x \ (_ 2 \), y \ (_ 2 \)), C (x \ (_ 3 \), y \ (_ 3 \)) и D (x \ (_ 4 \), y \ (_ 4 \)) четырехугольника ABCD и запишите их, как показано ниже,

Складываем произведения по диагонали x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \), x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \), x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) и x \ (_ 4 \). y \ (_ 1 \) _{, которые показаны синими стрелками на изображении выше.}

(x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \) _{+ x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) + x \ (_ 4 \) y \ (_1 \)) → (1)}

Складываем произведения по диагонали x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \), x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \), x \ (_ 4 \) y \ (_ 3 \) и x \ (_ 1 \). y \ (_ 4 \), которые показаны оранжевыми стрелками.

(x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \) _{+ x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \) _{+ x \ (_ 4 \) y \ (_ 3 \) + x \ (_ 1 \) y \ (_ 4 \)) → (2)}}

Вычтите (2) из (1) и умножьте разницу на 1/2, чтобы получить площадь четырехугольника ABCD.

Итак, площадь четырехугольника ABCD задается как,

A = (1/2) ⋅ {(x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \) _{+ x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) + x \ (_ 4 \) y \ (_ 1 \)) — (x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \) _{+ x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \) _{+ x \ (_ 4 \) у \ (_ 3 \) + х \ (_ 1 \) у \ (_ 4 \))}}}}

Примечание: Мы также можем вычислить площадь четырехугольника, используя координаты вершин, разделив его на два треугольника и сложив их соответствующие площади.Давайте разберемся с этой техникой на примере, приведенном ниже,

Пример: Рассмотрим следующие четыре точки: A (−3, 1), B (−1, 4), C (3, 2), D (1, −2). Эти четыре точки являются вершинами четырехугольника:

Здесь мы разделим четырехугольник на два треугольника (используя любую из диагоналей), вычислим (положительное значение) площади каждого треугольника и сложим эти значения, чтобы получить общую площадь. На следующем рисунке четырехугольник ABCD разделен на ΔABD и ΔADC.

Теперь мы отдельно вычисляем площади двух треугольников.

Площадь треугольника ABC:

= (1/2) | −3 × (4–2) + (−1) × (2–1) + 3 × (1–4) | = (1/2) | −6 −1 −9 | = (1/2) × 16 = 8кв.

Площадь треугольника ACD:

= (1/2) | −3 × (−2 — 2) + 1 × (2 — 1) + 3 × (1 — (- 2)) |

= (1/2) | 12 + 1 + 9 | = (1/2) × 22 = 11кв.

Площадь четырехугольника ABCD:

Площадь (ABCD) = Площадь (ΔABC) + Площадь (ΔADC) = 8 + 11 = 19 кв.ед.

Часто задаваемые вопросы о четырехугольнике

Что такое площадь четырехугольника в математике?

Площадь четырехугольника — это область, которая им окружена. Он измеряется в квадратных единицах, например, в ², см ², м ² и т. Д.

Что такое площадь четырехугольной формулы?

Площадь четырехугольника можно найти, разделив его на два треугольника по диагонали. Когда длина диагонали и высота двух треугольников известны, площадь (A) четырехугольника равна A = (1/2) × диагональ × (сумма высот).{2} \ frac {\ theta} {2}} \), где s — полупериметр четырехугольника. т.е. s = (a + b + c + d) / 2.

Как найти площадь четырехугольника по формуле Герона?

Мы знаем, что площадь четырехугольника можно найти, разделив его на два треугольника по диагонали. Кроме того, мы знаем, что площадь треугольника с 3 сторонами можно найти по формуле Герона. Используя формулу Герона, площадь треугольника со сторонами a, b и c определяется как \ (\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \), где ‘s’ — это полупериметр треугольник.т.е. s = (a + b + c) / 2. Используя эту формулу, мы можем найти площади двух треугольников (которые образованы четырехугольником) и сложить их, чтобы получить площадь четырехугольника.

Какие формулы для определения площадей четырехугольников разных типов?

Существуют разные формулы для определения площадей четырехугольников разных типов. Их:

Площадь квадрата со стороной x составляет x ².
Площадь прямоугольника размеров l и b равна l × b.
Площадь параллелограмма с основанием «b» и высотой «h» равна b × h.
Площадь трапеции, параллельные стороны которой равны ‘a’ и ‘b’, а высота (перпендикулярное расстояние между ‘a’ и ‘b’) ‘h’ равно (1/2) (a + b) h.
Площадь ромба диагоналей d \ (_ 1 \) и d \ (_ 2 \) равна (1/2) × d \ (_ 1 \) × d \ (_ 2 \).
Площадь воздушного змея диагоналей d \ (_ 1 \) и d \ (_ 2 \) равна (1/2) × d \ (_ 1 \) × d \ (_ 2 \).

Как найти площадь четырехугольника с координатами?

Когда вершинам четырехугольника заданы координаты, сначала найдите 4 длины сторон и длину диагонали, используя формулу расстояния.Затем разделите четырехугольник на две части, используя найденную вами диагональ, найдите площадь каждого треугольника, используя формулу Герона, а затем сложите площади двух треугольников, что даст площадь четырехугольника.

Правильные и неправильные четырехугольники — определение, примеры

По сторонам все четырехугольники можно разделить на две группы: правильные и неправильные.

Правильный и неправильный четырехугольник

Что такое правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины и четырьмя углами одинаковой меры.

Пример : квадрат — единственный правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник

Что такое неправильный четырехугольник

Неправильный четырехугольник — это тип четырехугольника, у которого одна или несколько сторон неравной длины и один или несколько углов неравной меры.

Примеры : прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция и воздушный змей — неправильные четырехугольники.

Неправильный четырехугольник

Формулы

Площадь правильного четырехугольника

Квадрат — единственный известный нам правильный четырехугольник.Таким образом, чтобы найти площадь правильного четырехугольника, воспользуемся формулой для определения площади квадрата. Формула приведена ниже:

Формула

Площадь (A) = a ² , здесь a = сторона

В правильном четырехугольнике ABCD,

a = AB = BC = CD = DA

Найдите площадь правильного четырехугольника ABCD, стороны которого равны 12 м.

Решение:

Как известно,
Площадь ( A ) = a ² , здесь a = 12 м
= 12 x 12 м ²
= 144 м ²

Площадь неправильного четырехугольника

Поскольку все неправильные четырехугольники имеют разную форму, мы не можем применить формулу какого-либо конкретного четырехугольника, чтобы найти площадь всех неправильных четырехугольников.Другими словами, у нас нет фиксированной общей формулы, которую можно было бы использовать для всех из них. В таких случаях выполняются следующие шаги:

Четырехугольник разделен на два треугольника, нарисовав диагональ.
Найдите площадь каждого треугольника, используя различные формулы, как описано в нашей статье о треугольниках.
Добавьте площади двух треугольников

Шаги, хотя звучит легко, иногда может быть довольно разрабатывать. Давайте возьмем пример, чтобы лучше понять концепции.

Найдите площадь неправильного четырехугольника ABCD со сторонами BC = 6 см, CD = 8 см, DA = 10 см и AB = 12 см и ∠BCD = 120 °.

Решение:

Разобьем неправильный четырехугольник ABCD на △ BCD и △ DAB, нарисовав диагональ BD
. Поскольку мы не знаем высоты ни одного из треугольников BCD и DAB, мы не можем использовать общую формулу . ½ x основание x высота , для определения площади треугольников.
Использование закона бокового угла-стороны (SAS)
Здесь мы будем использовать тригонометрическую функцию ( A ) = ½ x BC x CD x sin C , чтобы вычислить площадь △ BCD
A = ½ x 6 x 8 x sin 120 °
= ½ x 48 x √3 / 2 см ²
= 20.78 см ²
Использование закона косинусов
Теперь мы знаем площадь △ BCD, но все еще не знаем длину диагонали BD. Для этого мы будем использовать закон косинусов :
c ² = a ² + b ² — 2ab cos C
In △ BCD, пусть BC = h, CD = a и BD = t
Тогда приведенный выше закон косинусов можно записать как,
t ² = a ² + h ² — 2ah cos T
t ² = (8 x 8) + (6 x 6) — 2 x 8 x 6 cos 120 ° см
t ² = 64 + 36 — (96 x cos 120 °) см
t ² = 100 — (96 x (-0.5)) см
t ² = (100 + 48) см
t ² = 148 см
t = 12,165 см
Теперь у нас есть приблизительная длина диагонали BD, равная 12,165 см неправильного четырехугольника ABCD.
Используя формулу Герона
Зная диагональ четырехугольника ABCD, теперь мы можем вычислить площадь другой части четырехугольника, используя формулу Герона.
Поскольку формула Герона зависит от знания полупериметра, для △ DAB три стороны следующие:
DA = 10 см, AB = 12 см и BD = 12.165 см
Как известно, полупериметр ( с ) = ½ (10 + 12 + 12,165)
= 34,165 / 2 см
= 17,08 см
Теперь, применяя формулу Герона для расчета площади △ DAB,
A = √s (s — a) (s — b) (s — c) , здесь s = 17,08 см, a = 10 см, b = 12,165 см и c = 12 см
= √17,08 x ( 17,08 — 10) x (17,08 — 12,165) x (17,08 — 12) см ²
= √17,08 x 7,08 x 4,915 x 5,08 см ²
= √3019,314 см ²
= 54,948 см ²
Теперь, чтобы получить площадь неправильного четырехугольника ABCD, нам нужно сложить площадь треугольников BCD и DAB
Следовательно, площадь неправильного четырехугольника ABCD = Площадь △ BCD + Площадь △ DAB
= (20.78 + 54,948) см ²
= 75,728 см ²

Часто задаваемые вопросы

1 кв. Назовите четырехугольник с четырьмя равными сторонами, который не является правильным?

Ответ . Нет такого четырехугольника с четырьмя конгруэнтными сторонами, но неправильным, потому что единственный четырехугольник, у которого есть четыре конгруэнтные стороны, — это квадрат, который является правильным четырехугольником.

2 кв. Назовите равносторонний четырехугольник, который не является правильным?

Ответ .Ромб

Q3. Является ли трапеция правильным четырехугольником?

Ответ . Все четыре стороны трапеции не равны, поэтому это не правильный четырехугольник.

4 кв. Как еще называют правильный четырехугольник?

Ответ . Мы обычно называем правильный четырехугольник квадратом.

Q5. Какой четырехугольник является правильным многоугольником?

Ответ . Площадь

Q6.Сколько линий симметрии в правильном четырехугольнике?

Ответ . Квадрат, являющийся единственным правильным четырехугольником, имеет четыре линии симметрии.

Q7. Сколько сторон у правильного четырехугольника?

Ответ . У правильного четырехугольника четыре стороны.

Q8. Является ли прямоугольник правильным четырехугольником?

Ответ . Поскольку у прямоугольника равны только противоположные стороны, они не являются правильным четырехугольником.

9 кв. Ромб — это правильный четырехугольник?

Ответ . Поскольку у ромба не все четыре угла равны, они не являются правильным четырехугольником.

Q10. Назовите равносторонний четырехугольник, который не является правильным?

Ответ . Прямоугольник.

Q11. Может ли вогнутый четырехугольник быть правильным?

Ответ . Поскольку у вогнутого четырехугольника один из внутренних углов составляет более 90 °, невозможно получить вогнутый, но правильный четырехугольник.

Q12. У всех неправильных четырехугольников нет прямых углов?

Ответ . Единственный неправильный четырехугольник, имеющий прямые углы, — это прямоугольник.

Что такое площадь четырехугольника?

Четырехугольник — это многоугольник, который получается соединением четырех вершин, у него четыре стороны и четыре угла. Есть два типа четырехугольников — правильные и неправильные четырехугольники. Некоторые примеры четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция и параллелограмм.

Площадь многоугольника — это пространство, занимаемое плоской формой. Это сумма площадей правильных и неправильных треугольников внутри.

Измерение площади четырехугольника Чтобы оценить площадь четырехугольника, мы разделим его на две основные геометрические фигуры, например, треугольники. Затем мы находим площадь двух отдельных треугольников, используя формулу, и складываем эти площади, чтобы найти площадь четырехугольника.

Расчет площади четырехугольника

(B и D) по диагонали переменного тока.

Площадь четырехугольника ABCD = Площадь ABC + Площадь △ ADC

Итак, площадь четырехугольника ABCD = (½ × AC × BE) + (½ × AC × DF)

Мы можем вычислить площади четырехугольников различных типов по данной формуле. Для четырехугольника ABCD, если мы используем сантиметр в качестве единицы измерения, единицей измерения площади будет см ².

Площадь параллелограмма

Чтобы оценить площадь параллелограмма, нарисуйте перпендикуляр от одной из вершин к основанию.Этот перпендикуляр и есть высота. Таким образом, площадь будет произведением базы и высоты.

Площадь параллелограмма = основание x высота

Площадь = 12 × 6 = 72 см

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, разделим четырехугольник на два равнобедренных треугольника, используя две диагонали. В данном ромбе ABCD точка пересечения этих диагоналей равна E. Таким образом, площадь ромба равна:

Площадь ромба ABCD = Площадь ABC + Площадь △ ADC

⟹ Площадь ромба ABCD = (½ x AC x BE) + (½ x AC x ED)

⟹ Площадь ромба ABCD = ½ x AC (BE + ED)

⟹ Площадь ромба ABCD = ½ x AC x BD

Площадь квадрата

Используя это соотношение, мы также можем найти площадь квадрата ABCD

Площадь квадрата ABCD = Площадь ABC + Площадь △ BCD

⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC * AB

⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC * AC (как AC = AB)

⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC2

Аналогично, площадь △ BCD = ½ * CD2

Так как AC = CD, площадь △ BCD будет ½ * AC2

Таким образом, площадь квадрата ABCD = 2 * (½ * AC2) = AC2

Следовательно, площадь квадрата ABCD — это квадрат стороны.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника по приведенной выше формуле будет равна произведению двух его смежных сторон, основания и высоты. Мы представляем это как:

Заявка

Реальное применение четырехугольника и его площади очень полезно в областях дизайна, сельского хозяйства и архитектуры. Эта концепция очень полезна при расширенном проектировании навигационных карт, масштабируемых с точностью до фактических расстояний и площадей.

Площадь, покрытая четырехугольником, образованным соединением четырех разных мест на карте

Интересные факты

Термин четырехугольник — это комбинация слов Quadri + Lateral, что означает «четыре стороны».
За исключением квадрата, все четырехугольники неправильные. Они также известны как «Четырехугольник» и «Тетрагон» (четыре и многоугольник).
Сумма всех углов внутри четырехугольника всегда равна 360 °.

Сопутствующий математический словарь

Площадь вписанного четырехугольника

Площадь вписанного четырехугольника — Math Open Reference

Формула для вычисления площади вписанного или вписанного четырехугольника
, если вам известны длины сторон (a, b, c, d).

Попробуйте это Перетащите любую оранжевую точку. Обратите внимание на изменение формулы для расчета площади.

Напомним, что вписанный (или «циклический») четырехугольник — это тот, в котором четыре все вершины лежат на окружности. Используя формулу ниже, вы можете рассчитать площадь четырехугольника.

где a, b, c, d — длины сторон, а p — половина периметра:

На рисунке выше перетащите любую вершину по кругу. Обратите внимание, как рассчитываются полупериметр (p) и площадь.

‘Скрещенные’ полигоны

На рисунке выше, если вы перетащите точку мимо ее соседа, четырехугольник станет «пересеченным» там, где одна сторона пересекается с другой.В таких «скрещенных» четырехугольниках формула площади больше не выполняется. (Большинство свойств многоугольников недействительны при пересечении многоугольника).

Сходство с формулой Герона

Напомним, что Формула Герона для площади треугольника: где p — половина периметра, как здесь.

Эти две формулы очень похожи. Если взять формулу Брахмагупты и установить d (длину четвертой стороны) равным нулю, четырехугольник становится треугольником. В формуле Брахмагупты термин (p-d) становится просто p, и формулы также остаются такими же.

На рисунке выше, если вы будете осторожны, вы можете перетащить точку D, чтобы она оказалась на вершине A, сделав d равным нулю, иллюстрируя это сходство.

Из этого вы можете видеть, что формула Герона — это просто частный случай формулы Брахмагупты. Напомним также, что все треугольники циклические. То есть вы всегда можете нарисовать круг через три вершины. Видеть Окружность треугольника.

Что попробовать

На рисунке выше

Щелкните «Скрыть подробности».
Перетащите вершины, чтобы создать новый (не скрещенный) четырехугольник.
Вычислите площадь четырехугольника по формуле Брахмагупты.
Оцените площадь, считая квадраты. Каждая — одна квадратная единица.
Нажмите «показать подробности», чтобы проверить свой ответ.