Калькулятор онлайн системы: Решение систем уравнений — Калькулятор Онлайн

Содержание

Системы линейных уравнений | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Система линейных уравнений состоит из нескольких (от двух) уравнений с количеством переменных не менее количества уравнений в системе. Например, если в уравнениях, из которых состоит система, три неизвестных – x, y и z, то уравнений в системе должно быть не менее трех. Если уравнений больше, чем неизвестных, то добавочные уравнения служат для проверки совместности системы – то есть, если корни, найденные в первых уравнениях, удовлетворяют добавочным уравнениям.

Уравнения в системе могут быть первой и второй степени, реже встречаются кубические уравнения в системах, а если таковые и попадаются, то, скорее всего, третья степень нивелируется при решении остальных уравнений.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений на примере системы из двух уравнений первой степени. Первое, что нужно сделать в любой системе, это выбрать наиболее простое уравнение и выразить в нем одну переменную через другие, то есть сделать так, чтобы справа от знака «равно» осталась только одна неизвестная с единичным коэффициентом.

Затем, полученное для этой неизвестной выражение нужно подставить вместо нее во второе уравнение, и продолжить так, пока в последнем (или нет) уравнении не останется только одна неизвестная. Уравнение первой или второй степени с одной неизвестной решается согласно алгоритму, приведенному в соответствующем разделе. Найдя одну из переменных, возвращаемся в обратном порядке к первому уравнения, вычисляя все остальные.

Если есть добавочные уравнения, осуществляем проверку корней в них.

Существуют и другие способы решения систем линейных уравнений, более непостоянные и требующие внимательного подхода к заданным уравнениям, тем не менее, метод подстановки остается самым простым и действенным для любых систем уравнений.

Он-лайн калькулятор решения систем линейных уравнений вычисляет сразу готовый результат в виде корней уравнения, по введенным в него исходным коэффициентам и количеству переменных/уравнений.

Онлайн калькулятор систем счисления с решением онлайн

Переведем целую часть 12 числа 12. 310 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.
12 : 2 = 6 остаток: 0
6 : 2 = 3 остаток: 0
3 : 2 = 1 остаток: 1
1 : 2 = 0 остаток: 1

1210 = 11002

Переведем дробную часть 0.3 числа 12.310 в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного умножения на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

0.3·2 = 0.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0. 4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2
0.2·2 = 0.4
0.4·2 = 0.8
0.8·2 = 1.6
0.6·2 = 1.2

0.310 = 0. 0100110011001100110011001100112
12.310 = 1100.0100110011001100110011001100112

Решение уравнений методом сложения. Калькулятор онлайн

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.
    д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»

Центр дистанционного образования

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Метод алгебраического сложения.

      1. Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.

Задачи урока:

Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его.

Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.

Форма работы: индивидуальная

Этапы урока:

1) Организационный этап.

организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.

2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.

Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.

3. Изучение нового материала.

1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;

2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;

3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.

5. Закрепление изученного материала

Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке

6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.

Ход урока (работа в электронном документе Google):

1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.

Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?

Время

Вспомним основные понятия по теме:

Перед нами система двух уравнений.

Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.

Методом подстановки

Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?

Потому что это — уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.

Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.

3. Мы приступаем к решению следующей системы:

Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.

Такого уравнения нет.

Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?

Найти новый метод.

Попытаемся сформулировать цель урока.

Научиться решать системы новым методом.

Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?

знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания

Приступим к выведению нового метода.

Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.

Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.

Сложить уравнения.

Что значит сложить уравнения?

По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.

Попробуем. Работаем вместе со мной.

13x+14x+17y-17y=43+11

Получили линейное уравнение с одной переменной.

Решили систему уравнений?

Решение системы — пара чисел.

Как найти у?

Найденное значение х подставить в уравнение системы.

Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?

Значит найденное значение х можно подставить в…

любое уравнение системы.

Мы познакомились с новым методом — методом алгебраического сложения.

Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.

Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.

Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.

Рассмотрим задачу:

В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19

4х — число ног у овец

2у — число ног у кур

Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46

Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.

Проблема! Коэффициенты перед х и у — не равные и не противоположные! Что же делать?

Рассмотрим ещё один пример!

Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.

4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.

Дополнительные задания:

6.

Рефлексия.

Я за свою работу на уроке ставлю оценку — …

6. Использованные ресурсы-интернет:

сервисы Google для образования

Учитель математики Соколова Н. Н.

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 — некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y — (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ , где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.

Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:

1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.

2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.

Решение системы — это точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Дана система:

Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (-1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:

Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.

Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y . Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода — избавиться от 1-ой из переменных.

-4 — y + 5 = 0 → y = 1,

В виде системы решение выглядит где-то так:

Ответ: x = -4 , y = 1.

Пример 2.

Дана система:

В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях . А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.

Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:

Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4 , при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное . Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .

Следующий шаг:

1-е уравнение умножаем на ,

3-е уравнение умножаем на ,

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор x n — переменные, а b n — свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Онлайн-калькуляторы для определения мощности ПК — теория и практика | Блоки питания компьютера | Блог

Узнать мощность своего компьютера можно по-разному: вооружиться мультиметром и тестировать вручную или зайти на онлайн-калькулятор и посчитать все за 5 минут. Последние выдают результаты автоматически — вбиваешь свои данные и готово. А мы в этом материале проверяем онлайн-калькуляторы на честность. Какие из них выдают более точные данные, какими проще и удобнее пользоваться? И стоит ли вообще доверять готовым алгоритмам или лучше все перепроверить самому?

Тестируем реальную мощность ПК

Перед проверкой калькуляторов сначала нужно определить реальную мощность ПК. Тестируем пару персональных компьютеров двумя способами:

  • Амперметром ACM91 измеряется ток по выходным линиям блока питания. Далее рассчитывается, затем суммируется мощность.
  • По входу блока питания (220 В) измеряется мощность. В этом случае делается поправка на КПД блока питания и используется как справочное значение.

ПК нагружались тестом стабильности от AIDA, видеокарта — дополнительно стресс-тестом от FurMark. Все компоненты ПК работали в штатном режиме, без разгонов. Для видеокарты была установлена максимальная производительность из предложенных производителем Profiles.

Конфигурации ПК1 и ПК2

Комплектующие

ПК 1

ПК 2

Материнская плата Asus Prime B360-Plus (ATX) Asus H81M-K (Micro-ATX)
Центральный процессор I5-8400 (TDP 65 Вт) I5-4460 (TDP 84 Вт)
Видеокарта GTX-1650 Super (100 Вт) Нет
Устройства хранения информации

SSD A-Data SX6000 Pro, 256 ГБ, М. 2 2280

SSD Samsung 860 EVO, 250 ГБ, SATA
Оперативная память (RAM) DDR4 2 модуля по 8 ГБ DDR3 2 модуля по 4 ГБ
Дополнительные вентиляторы 2 корпусных Нет
Блок питания ZALMAN ZM400-LE 400 Вт DeepCool DE-530 400 Вт
Прочие устройства Нет Нет

Измеренная потребляемая мощность ПК

Условия измерений

ПК1

ПК2

U12CPU —линия питания процессора;

66 Вт

(I5-8400, TDP 65 Вт)

60 Вт

(I5-4460, TDP 84 Вт)

U12GPU — линия питания видеокарты;

53 Вт

U12MB — линия питания материнской платы;

60 Вт

12 Вт
U5 — линия 5 В;

7,5 Вт

1,8 Вт
U3. 3 — линия 3.3 В;

2,5 Вт

2,5 Вт
U5STB — линия дежурного источника питания.

1,5 Вт

1,5 Вт
Суммарная на выходе БП по линиям питания

191 Вт

78 Вт
По входу БП (220 В)

225 Вт (КПД БП ~86%)

98 Вт (КПД БП ~80%)

Тесты онлайн-калькуляторов мощности

Калькулятор от Bequiet

https://www.bequiet.com/ru/psucalculator

Онлайн-калькулятор от известного производителя солидных блоков питания Bequiet.

Разработчики калькулятора не стали мудрить и предусмотрели в калькуляторе расчет только по четырем основным компонентам: процессор, видеокарта, система и охлаждение. Это упрощает использование калькулятора и, надо сказать, без вреда для правильного выбора блока питания.

Калькулятор предлагает обширный список моделей процессоров — от самых древних до процессоров последних поколений. 

Мощность потребления процессора, как правило,  определяется по его TDP. Однако для последних моделей процессоров разработчики калькулятора учитывают максимальное пиковое потребление, которое в течение определенного времени может превышать TDP. Например, в соответствии со спецификацией для ЦП i5-10600K TDP составляет 125 Вт, при этом максимальная непродолжительная пиковая мощность процессора может достигать 182 Вт. И блок питания должен обеспечивать данную мощность, что и учитывается в калькуляторе. Для процессора можно указать два режима разгона: «Разогнанная версия (ОС)» и «Экстремальный разгон». При этом первый режим добавит к потреблению ЦП 10 %, а второй 25 %.

Мощность видеокарты учитывается в соответствии с характеристиками от производителя. Стоить отметить, что для последних моделей видеокарт в калькуляторе учитываются более высокие мощности, по сравнению с данными от производителя. Так, для видеокарты RTX3060Ti для расчетов используется значение мощности в 330 Вт против 200 Вт, указанных производителем.  Список моделей внушительный — до самых последних моделей. Нашлась даже скромная GTX 1650 Super. Как и для процессоров, для видеокарты можно также указать режимы разгона. Первый режим добавит 10 % к номинальной мощности, а второй 25 %.

В разделе «Система» можно указать количество модулей памяти, устройств SATA и даже устройств PATA. Каждый модуль памяти добавляет 4 Вт к рассчитываемой мощности, каждое устройство SATA или PATA — по 15 Вт. В качестве устройства SATA я укажу свой SSD М.2, так как в калькуляторе отсутствует отдельное поле для указания таких устройств.

В разделе «Охлаждение» можно указать дополнительные вентиляторы в системе и (или) систему водяного охлаждения. Каждый вентилятор добавляет 5 Вт.

В калькуляторе предусмотрена еще одна установка — «Использование USB 3.1 Gen 2 для передачи энергии».

Спецификация USB 3.1 Gen 2 в теории подразумевает возможность передачи до 100 Вт мощности. И действительно, если установить здесь галочку, то рассчитанная потребляемая мощность компьютера увеличится на 100 Вт.

В результате мы получаем рассчитанную максимальную потребляемую мощность системы и возможность указать свои пожелания для дальнейшего выбора блока питания. 

Приоритетом мы указали цену и в качестве первой рекомендованной модели получили be quiet! SYSTEM POWER 9 400W.

Результаты

Конфигурация ПК

Рассчитанная мощность калькулятором Bequiet

Измеренная потребляемая мощность ПК

ПК1

198 Вт *

191 Вт

ПК2

107 Вт

78 Вт

*за вычетом 20 Вт на реально установленную GTX 1650 Super

Калькулятор от Сoolermaster

https://www. coolermaster.com/power-supply-calculator

Широкий выбор процессоров вплоть до последних моделей LGA1200 и AM4. Потребляемая мощность процессора определяется калькулятором по его TDP. Разгон процессора не учитывается, как и его кратковременная пиковая мощность, хотя для современных процессоров она может значительно превышать TDP.

Материнская плата указывается через форм-фактор. По этому параметру добавляется определенная мощность (ATX — 70 Вт, Micro-ATX — 60 Вт, Mini-ATX — 30 Вт).

Видеокарт в списке достаточно. Мы нашли нужную GTX1650 Super. Однако не обнаружили RTX 3060Ti, хотя другие карты серии 3000 от NVIDIA присутствуют. 

Память выбирается по типу и объему. Например, одна плашка DDR4 объемом 8 Гб добавляет 3 Вт.

Есть возможность добавить SSD по его объему. Выбор одного SSD на 250 Гб добавляет 15 Вт, независимо от его объема.

HDD указывается по скорости вращения шпинделя и форм-фактору. При этом HDD с 7200RPM и 3.5″ добавляет 15 Вт, что в среднем недалеко от реальности.

Результаты расчетов

Конфигурация ПК

Рассчитанная мощность калькулятором Сoolermaster

Измеренная потребляемая мощность ПК

ПК1

256 Вт

191 Вт

ПК2

163 Вт

78 Вт

Калькулятор от Shop.kz

https://shop.kz/calculator-moschnosti-bloka-pitaniya/

Калькулятор примечателен своим удобным лаконичным интерфейсом. По параметрам, которые используются для расчетов, калькулятор идентичен калькулятору от Сoolermaster с той лишь разницей, что в расчете дополнительно учитываются используемые вентиляторы охлаждения и система жидкостного охлаждения.

Для конфигурации ПК1 это добавило еще 10 Вт (по 5 Вт на вентилятор) по сравнению с расчетами на калькуляторе Сoolermaster.

Результаты расчетов

Конфигурация ПК

Рассчитанная мощность калькулятором Shop.kz

Измеренная потребляемая мощность ПК

ПК1

266 Вт

191 Вт

ПК2

163 Вт

78 Вт

Калькулятор от Seasonic

https://seasonic.com/wattage-calculator

Калькулятор от известного популярного производителя БП.

Данный калькулятор с красочным интерфейсом отличается от рассматриваемых тем, что в результате расчетов пользователь не получает значение мощности. Так как нет значений мощности, то и сравнивать нечего. Но Seasonic широко, а главное, положительно известна своими блоками питания. Результатом расчетов сразу же является предложение подходящих блоков питания от Seasonic.

Калькулятор от Outervision

https://outervision.com/power-supply-calculator

В калькуляторе есть возможность выбора платформы, разработчики этот раздел почему-то назвали Motherboard. По умолчанию выбран Desktop, который сразу в расчет добавляет 62 Вт мощности.

Мощность процессора определяется по его TDP. Пиковая потребляемая мощность процессора не учитывается.

Однако у калькулятора есть интересная особенность — учет параметров разгона процессора (частота и напряжение питания ядер) и видеокарты.

Память выбирается по типу и объему. Кстати, для памяти частоту разгона указать не получится, что выглядит немного не логично.

Предусмотрен выбор всевозможных устройств хранения, даже дисков с интерфейсом IDE. Есть и SSD M.2. Обширный список устройств с интерфейсом PCI и PCIe и большой выбор прочих устройств, от USB до светодиодной ленты.

Все здорово, но своей видеокарты GTX 1650 Super автор не обнаружил. Выбираем 1660, а, так как она потребляет на 20 Вт больше, то в расчетном значении вычтем 20 Вт.

В итоге получаем расчетную максимальную потребляемую мощность системы, рекомендуемую минимальную мощность блока питания (Recommended PSU Wattage) и, внимание, рекомендуемую мощность источника бесперебойного питания — ИБП (Recommended UPS rating). Вот для чего мы указываем монитор.

Результаты

Конфигурация ПК

Рассчитанная мощность калькулятором Outervision

Измеренная потребляемая мощность ПК

ПК1

264 (314) Вт*

191 Вт

ПК2

170 (220) Вт

78 Вт

*за вычетом 20 Вт на реально установленную GTX 1650 Super. В скобках указана рекомендуемая минимальная мощность БП

Считать или не считать — выводы и результаты

Подведем итог. Сведем все результаты в одну таблицу.

Конфигурация ПК

Измеренная  мощность ПК

Калькулятор Bequiet

Калькулятор Сoolermaster

Калькулятор Outervision

Калькулятор Shop.kz

ПК1

191 Вт 198 Вт 256 Вт 264 (314) Вт

266 Вт

ПК2

78 Вт 107 Вт 163 Вт 170 (220) Вт

163 Вт

Наиболее близкую к реальности мощность показывает калькулятор от Bequiet. Его разработчики рекомендуют использовать БП в режиме нагрузки от 50 до 80 %. Я бы остановился на рекомендации в 50 % — будет некий запас на комплектующие и те режимы работы, которые не учитывает калькулятор, плюс получим выигрыш в тишине. Тогда для рассматриваемой конфигурации ПК1 будет оптимальным использование БП мощностью 400 Вт. Может показаться, что этого маловато, но надо понимать, что калькулятор предполагает использование блоков питания от Bequiet с честной выходной мощностью.

Калькулятор Bequiet прост в использовании, но не учитывает множество устройств, которые могут быть установлены, а их потребление в сумме может быть очень даже весомым.

В калькуляторе от CoolerMaster добавлена возможность указывать типоразмер материнской платы. Это добавляет определенный резерв мощности, который может пригодиться для не учтенных комплектующих. Во всем остальном он схож с Bequiet и к нему можно применять те же рекомендации по выбору БП.

Калькулятор от CoolerMaster резервирует фиксированную мощность для неучтенных комплектующих и режимов работы.

Калькулятор от Shop.kz практически не отличается от предыдущего, за исключением того, что учитывает корпусные вентиляторы охлаждения и СЖО. Но на фоне потребления процессора и видеокарты и допускаемых погрешностей это не существенно. Если, конечно, у вас не установлены десятки вентиляторов. 

Как уже было сказано выше, калькулятор от Seasonic не показывает рассчитанную мощность БП. Видимо, разработчики решили не грузить пользователя техническими терминами, а сразу предложили подходящую к заданной конфигурации модель БП. Разумеется, от Seasonic. И такой вариант тоже может быть вполне востребован.  

Если в ПК присутствует много дополнительных устройств, то лучше все-таки использовать калькулятор от Outervision.

Калькулятор Outervision выдает сразу рекомендуемую мощность БП. Для рассматриваемой конфигурации ПК1 калькулятор рекомендует БП мощностью 358 Вт. Округляем в большую сторону до ближайшей сотни — получаем 400 Вт.

При расчете можно учесть время использования компьютера за сутки. При этом калькулятор добавляет 5 % к рекомендуемой минимальной мощности блока питания, если ПК будет использоваться в режиме 24/7 против одного часа. Таким образом условно определяется некий запас надежности БП при круглосуточной работе ПК.

Калькулятор показывает предполагаемый ток по основным линиям БП, предлагает рассчитать экономию электроэнергии и финансовую выгоду при использовании БП с более продвинутыми сертификатами эффективности. Правда, применительно это только к БП от EVGA.

Калькулятор Outervision рассчитывает мощность источника бесперебойного питания (ИБП). Не забудьте указать диагональ используемого монитора.

Все калькуляторы в некоторой степени грешат отсутствием некоторых моделей комплектующих. Наверное обычный пользователь не станет искать схожие по характеристикам модели, анализировать и сравнивать. Если возникнет такая проблема, то скорее всего он просто откажется от калькулятора и пойдет по форумам с вопросом какой БП выбрать.

Для таких юзеров есть и другие способы определения мощности БП. Например, можно ориентироваться на рекомендации производителей видеокарт. В частности, для GTX-1650 Super рекомендуется мощность БП 450 Вт, что в общем, соответствует значениям, которые получены при помощи калькуляторов с учетом рекомендаций.

Если же в ПК не используется отдельная видеокарта, то можно смело использовать современный блок питания с минимальной мощностью 300–400 Вт. Этого будет более чем достаточно для стандартной конфигурации настольного ПК.

Итог

Принимая во внимание поправки к программам, всеми перечисленными калькуляторами можно уверенно пользоваться. Результаты получаются вполне достоверными, а рекомендации по блокам питания — жизнеспособными. Для продвинутых пользователей больше подходит Outervision благодаря куче дополнительных опций и расширенным советам. Для владельцев ПК с минимальной конфигурацией можно использовать калькуляторы от Bequiet или Сoolermaster, хотя бы просто чтобы не запутаться. В любом случае онлайн-калькуляторы являются отличным инструментом для оценки потребляемой мощности вашего ПК и помогут в выборе блока питания или даже ИБП.

Как выбрать блок питания для компьютера можно почитать тут, или тут. А для любознательных есть хорошая публикация о том, как работает БП компьютера.