Расчет площади геометрических фигур: Как найти площадь фигуры, формула

Содержание

Расчет площади геометрических фигур | International Institute of Care to Buildings

СПРАВОЧНИКИ


 

 

Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1-ая формула

S — площадь треугольника

a, b — длины 2-х сторон треугольника

С — угол между сторонами a и b

2-ая формула

S — площадь треугольника

a — длина стороны треугольника

h — длина высоты, опущенной на сторону a

3-ья формула

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

p — полупериметр треугольника

4-ая формула

S — площадь треугольника

r — радиус вписанной окружности

p — полупериметр треугольника

5-ая формула

S — площадь треугольника

a, b, c — длины 3-х сторон треугольника

R — радиус описанной окружности

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади треугольника.

Формулы площади квадрата:

1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).

2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).

S — площадь квадрата

a — длина стороны квадрата

d — длина диагонали квадрата

См. также: Онлайн кальклятор для расчета площади квадрата.

Формула площади прямоугольника:

1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).

S — площадь прямоугольника

a — длина 1-ой стороны прямоугольника

b — длина 2-ой стороны прямоугольника

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади прямоугольника.

Формула площади параллелограмма:

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S — площадь параллелограмма

a — длина основания

h — длина высоты

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади параллелограмма.

Формула площади трапеции:

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).

S — площадь трапеции

a — длина 1-ого основания

b — длина 2-ого основания

h — длина высоты трапеции

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади трапеции.

Формулы площади ромба:

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S — площадь ромба

a — длина основания ромба

h — длина высоты ромба

d1 — длина 1-ой диагонали

d2 — длина 2-ой диагонали

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади ромба.

Формула площади круга:

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

S — площадь круга

π — число пи (3.1415)

r — радиус круга

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади круга.

Формула площади эллипса:

1) Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи (3.1415).

S — площадь эллипса

π — число пи (3.1415)

a — длина большой полуоси

b — длина малой полуоси

См. также: Онлайн калькулятор для расчета площади эллипса.

 


 

 

Калькулятор для расчета площади различных геометрических фигур

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.


Полезные калькуляторы

Расчет площади прямоугольника

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади треугольника

Способ нахождения площади треугольника: По трем сторонамПо одной стороне и высоте, опущенной на эту сторонуПо двум сторонам и углу между ними

Вычислить

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля


Расчет площади параллелограмма

Способ нахождения площади параллелограмма:
По основанию и высоте параллелограммаПо двум сторонам и углу между нимиПо двум диагоналям и углу между ними

Вычислить

 

Результат:

S= 1111 кв. ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади правильного многоугольника

Многоугольник с числом сторон n и длиной стороны аМногоугольник с числом сторон n, вписанный в окружность радиуса RМногоугольник с числом сторон n, описанный вокруг окружности радиуса r

Вычислить

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля


Расчет площади круга


Рассчитать площадь круга, если известен:

Вычислить

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади эллипса

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля


Расчет площади сектора круга


Рассчитать площадь сектора круга, если известен:

r=

ммсммкмфутярддюйммиля

θ=

ммсммкмфутярддюйммиля

град. рад.

Вычислить

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Расчет площади трапеции

Способ нахождения площади треугольника: По двум основаниям a,b и высоте hПо двум основаниям a,b и боковым сторонам c,d

 

Результат:

S= 1111 кв.ммкв.смкв.мкв.кмкв.футкв.ярдкв.дюймкв.миля

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры.

Метрические единицы измерения площади:   
Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м2 = 1 са (сантиар)
Квадратный километр — 1 км2 = 1 000 000 м2
Гектар — 1 га = 10 000 м2
Ар (сотка) — 1 а = 100 м2
(сотка как правило применяется для измерения земельных участков и равна 100 м2 или 10м х 10м)
Квадратный дециметр, 100 дм2 = 1 м2;
Квадратный сантиметр, 10 000 см2 = 1 м2;
Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм2 = 1 м2.

Данный онлайн-калькулятор удобен при расчете площадей помещений и земельных участков.

Формула вычисления площади для всех геометрических фигур

Стандартное обозначение площади — S

Площадь

Пусть длина стороны квадрата равна a, тогда формул квадрата:

S = a ⋅ a = a2

Прямоугльник

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b

S = a ⋅ b

Параллелограмм

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b и h

a это высота на сторону a, и hb это высота на сторону b
Формула площади параллелограмма:

S = a ⋅ ha = b ⋅ hb

Трапеция

Допустим, что длины параллельных сторон трапеции имеют длину a и b и расстояние между двумя основами s h(the trapezoid altitude). Тогда формула площади:

$S = \frac{(a + b)\cdot h}{2}$

Площадь круга

$P = \pi\cdot r^2$

$\pi=3,14$

Площадь прямоугольного треугольника

$S=\frac{a \cdot b}{2}$

$S=\frac{c \cdot h_c}{2}$

Площадь треугольника — калькулятор
Стороны треугольника:
Треугольник

ABC — треугольник

длина его сторон: a, b, c и длина его высот: ha, hb и hc. 2\cdot \text{ctg}(\frac{\pi}{n})$

n — число ребер(вершин).
$\pi=3,14159265359$

Калькулятор вычисления периметра и площади геометрических фигур

Определение периметра и площади геометрических фигур — важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.

Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами. Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.

Круг

Окружность — это множество точек на плоскости, которые равноудалены от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Многие считают круг и окружность синонимами, однако это не так. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Вы можете отыскать периметр и площадь круга, но у окружности найти можно только длину, так как она представляет собой кривую, не имеющую площади. Длина окружности или периметр круга находятся по простой формуле:

l = 2 pi × R,

где R – радиус фигуры.

Площадь круга рассчитывается согласно следующему выражению:

S = pi R2

Круги часто встречаются в реальной жизни. В основном это основания цилиндрических и конических деталей, а также просто круглые поверхности, например, круглые столики, диски, грампластинки или катушки. Вид окружности имеют колеса, обручи или кольца. В трехмерной реальности окружность превращается в сферу, а круг — в шар. Форму этих геометрических тел имеют многие реальные и природные объекты. Благодаря своей эффективности круг охватывает максимальную площадь при минимальном периметре. Именно поэтому форму шара имеют капли, снежные комья, метеориты или планеты.

Треугольник

Треугольник — первая гармоничная фигура на плоскости, ограниченная тремя отрезками. Свойства треугольника известны людям с античных времен: изучение фигуры стартовало в Древнем Египте и не завершено до сих пор. Огромный вклад в изучение свойств фигуры внесли Евклид, Эйлер и Лобачевский, но даже сегодня продолжается работа над поиском замечательных точек треугольника, которых на данный момент найдено более 6 тысяч. Для определения периметра фигуры достаточно сложить длины всех сторон треугольника по формуле:

P = a + b + c,

где a, b, c – стороны.

Для вычисления площади треугольника используется 5 различных формул плюс нахождение площади через определенный интеграл. Самое простое выражение для вычисления площади:

S = 0,5 a × h,

где a — сторона треугольника, h — его высота.

Наш калькулятор позволяет отыскать площадь или периметр треугольника, зная разные комбинации нескольких параметров, таких как углы, стороны или радиусы связанных окружностей.

Треугольники не слишком распространены в реальной повседневности. В природе они практически не встречаются, за исключением кристаллических решеток некоторых молекул или формы ушей у рыси. А вот в технике, геометрии и прикладных науках треугольник — царь и бог. Наибольшее применение находит следующий тип фигуры.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — особая вариация фигуры, у которой две стороны обязательно образуют прямой угол. Эти стороны называются катетами, а противолежащая им сторона — гипотенузой. Соотношение катетов и гипотенузы лежит в основе евклидовой геометрии — эти соотношения определяются теоремой Пифагора. Изучение свойств прямоугольного треугольника положило начало одному из важных разделов математики — тригонометрии, которая используется в самых разных прикладных сферах от компьютерных игр до океанографии.

Формулы для вычисления периметра и площади прямоугольного треугольника ничем не отличаются от формул для обычных вариаций данной фигуры или вытекают из них.

Трапеция

Трапеция, как и слово трапеза, по-гречески означают «стол». Это плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми, две из которых параллельны, а две — нет. По сути, это выпуклый четырехугольник, поэтому параллелограмм и прямоугольник считаются частными случаями трапеции. В общем случае все стороны трапеции имеют разную длину, и для вычисления периметра используется формула:

P = a + b + c + d,

a, b, c и d – стороны четырехугольника.

Площадь фигуры определяется как:

S = 0,5 (a + b) × h,

где a и b – параллельные стороны трапеции, h – высота.

Трапеция очень часто встречается в рукотворном мире. Грани многих предметов имеют вид этого четырехугольника, а буквально трапецеидальную форму имеют такие объекты как автомобильные окна, паруса, скаты крыш или юбки.

Параллелограмм

Параллелограмм — это элегантный четырехугольник, пары сторон которого параллельны друг другу. Любой четырехугольник становится параллелограммом, если его противолежащие стороны параллельны, диагонали в точке пересечения разделяются пополам, а противоположные углы равны. Для вычисления периметра параллелограмма используется простая формула, которая иллюстрирует сумму попарно равных сторон:

P = 2 (a + b).

Площадь параллелограмма не зависит от величины его углов, и находится по следующей формуле:

S = a × h.

Параллелограммы часто встречаются в реальной жизни: это грани многих призматических объектов, очертания полей, спортивных площадок или клумб. Форму параллелограммов имеют практически все отделочные материалы: плитка, кафель, гипсокартон, паркет. Такое разнообразие обусловлено тем, что частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, ромб и квадрат, формулы для определения периметров и площадей которых аналогичны или выводятся из теоремы Пифагора.

Частные случаи

Ромб — четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.

Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.

Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.

Многоугольник

Правильный полигон — это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы. В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:

И так далее. Геометры шутят, что круг — это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:

P = n × a,

где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.

Для определения площади используется выражение:

S = n/4 × a2 × ctg(pi/n).

Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.

Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США — Пентагон, гексагона — пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона — дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.

Примеры из реальной жизни

Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.

Покраска забора

Покраска поверхностей и расчет краски — это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр. Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров. Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.

Отделка бахромой

Пошив одежды — еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:

P = 400

Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.

Заключение

Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни. И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей. Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.

Площадь геометрической фигуры

Что такое площадь Площадь геометрической фигуры — это неотрицательная численная величина, которая характеризует размер этой фигуры.

Изначально, геометрия в Древней Греции (по-гречески «землемерие») занималась измерением площадей и объемов. Значительное число задач в области элементарной геометрии посвящено именно таким вопросам.

Общим методом нахождения площадей фигур в координатной плоскости является интегральное исчисление. Этими вопросами занимается математический анализ.
Для понимания применения универсального метода математического анализа для определения площади фигур можно привести следующие примеры вычисления площади:

  • Площадь фигуры, заключенная между графиком непрерывной функции на интервале [a,b] и осью абсцисс, равна определенному интегралу этой функции на том же интервале
  • Площадь фигуры, заключенная между графиками двух непрерывных функций на интервале [a,b] равна разности определенных интегралов этих функций на этом интервале

Или, с помощью формул это будет выглядеть следующим образом:

Как видно из рисунка и из формул, площадь фигуры, заключенной между графиком непрерывной функции f(x) и осью координат x на интервале [a,b] равна определенному интегралу этой функции [1].
Если же нам необходимо найти площадь фигуры, заключенной между графиками двух непрерывных функций — мы просто находим определенный интеграл для обоих функций и вычитаем площадь одной фигуры из площади другой. Разность площадей и даст нам искомую величину.

 С помощью интегрального исчисления также определяются площади поверхностей фигур и в полярных координатах (фигура, заключенная между двумя лучами) и в трехмерном пространстве.

Свойства площади фигур Площадь фигуры – это неотрицательная величина, числовое значение которой имеет следующие свойства:
  • Площадь фигуры является неотрицательной величиной
  • Равные фигуры имеют равные площади
  • Площадь фигуры равна сумме составляющих ее и не перекрывающих друг друга частей (свойство аддитивности).
  • Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице (свойство нормированности)
  • Площадь фигуры всегда больше площади ее части (свойство монотонности)

Формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Площадь квадрата со стороной а

S=a2

См. также — квадрат и площадь квадрата. Все формулы.

Площадь прямоугольника со сторонами а и b

S=ab

См. также Задачи про нахождение площади прямоугольника с пояснениями.

Площадь параллелограмма со сторонами а и b или с основанием а и высотой h

S=ah

S=ab*sin ab

См. также свойства и площадь параллелограмма.

Площадь ромба со стороной а, углом между сторонами α, диагоналями d1, d2

S=ab*sinα

или

S=1/2 d1d2

См. также Задачи о ромбе. 

Площадь треугольника с основанием а и высотой h

S=1/2 ah

См. также площадь треугольника (все формулы).

Площадь трапеции с основанием а, b и высотой h

S=(a+b)/2 * h

См. также свойства и площадь трапеции (все формулы).

Площадь круга

S=πR2

См. также Задачи про окружность.

 Биссектриса. Примеры решения задач | Описание курса | Окружность. Уравнение окружности 

   

Урок 14. измерение площади фигуры с помощью палетки — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок №14. Измерение площади фигуры с помощью палетки

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Площадь геометрической фигуры.

Вычисление площади фигур произвольной формы, используя палетку.

Глоссарий по теме:

Площадь — свойство фигур занимать место на плоскости.

Длина — свойство предмета “быть протяжённым в пространстве”

Палетка — прозрачная пластинка, разделенная на единицы площади.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

  1. Математика: 4 класс: учебник в 2 ч. Ч.1/ М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В.Степанова – М. Просвещение, 2016. – с. 36-38
  2. Всероссийские проверочные работе. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс в 2 ч. Ч 1/ под.ред. Н.А. Сопруновой – М.; Просвещение, 2016. – с. 50 -68

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вычислите площадь прямоугольника, если известно, что его длина равна 8см, а ширина 5см.

Вы уже знаете, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину. S= 8 ∙ 5 = 40 см2

А теперь попробуйте вычислить площадь данной фигуры:

-?

Сегодня мы узнаем, что для нахождения площади фигур можно использовать палетку. Палетка – это прозрачная плёнка, которая может быть разбита на квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры. Простейшая палетка — лист кальки, разделенный на квадратные сантиметры. Палетку используют для измерения площади фигур, ограниченных кривой линией.

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:

1) На данную фигуру наложить палетку. Не сдвигать!

2)Сосчитать, сколько целых клеток- квадратных единиц — содержится в фигуре.

Целых 34 клетки.

3) Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.

Неполных 8 клеток.

4) Количество нецелых квадратных единиц разделить на 2, примерно столько целых квадратных единиц они образуют.

8 : 2 = 4

5) Сложить числа, полученные в пунктах 2 и 4.

6) В ответе записать, что площадь фигуры приблизительно равна найденной сумме.

S = 34 + (8 : 2) = 38 см2

Ответ: S = 38 см2

Задания тренировочного модуля:

1. Определите, какая фигура имеет большую площадь, а какая — меньшую, и решите ребус соответствия.

Правильный ответ: Прямоугольник – большую, круг – меньшую.

Сторона клетки фигуры на рисунке равна 1 см. Найдите её площадь и периметр.

Правильный ответ:

Площадь 7 см2

Периметр 12 см

Как узнать площадь фигуры. Как найти геометрические площади фигур. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.

Геометрическая форма комнаты

Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:

  • Прямоугольные.
  • Квадратные.
  • Сложной конфигурации (например, круглые).
  • С нишами и выступами.

Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.

Помещение прямоугольной или квадратной формы

Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:

S комнаты=A*B, где

А — длина помещения.

В — ширина помещения.

Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.

Помещение со сложной конфигурацией

Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:

  • Формула нахождения площади круга:

S комн. =π*R 2 , где

R — радиус помещения.

  • Формула нахождения площади треугольника:

S комн.= √ (P(P — A) х (Р — В) х (Р — С)), где

Р — полупериметр треугольника.

А, В, С — длины его сторон.

Отсюда Р=А+В+С/2

Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.

Площадь помещения с выступами и нишами

Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.

Площадь стены находится по формуле:

S стен = Р х С, где

Р — периметр

С — высота

Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.

Комната с многоуровневым потолком

Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.

Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:

  1. Найти размеры всех прямых участков стен.
  2. Найти площадь пола.
  3. Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
  4. Суммировать получившееся значение с площадью пола.

Пошаговая инструкция по определению общей

площади помещения

  1. Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
  2. Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
  3. Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
  4. Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
  5. Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка

Площади геометрических фигур — численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади — сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади — квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности — это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ — прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

3) Рассмотрим частный случай — правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие — умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ — внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) — квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г — количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Как найти площадь фигуры?


Знать и уметь рассчитывать площади различных фигур необходимо не только для решения простых геометрических задач. Не обойтись без этих знаний и при составлении или проверке смет на ремонт помещений, расчета количества необходимых расходных материалов. Поэтому давайте разберемся, как находить площади разных фигур.

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:
  1. Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
  2. Если известны a, b, c, то искомая площадь рассчитывается по формуле Герона: корень квадратный, взятый из произведения половины периметра треугольника и трех разностей половины периметра и каждой стороны треугольника: S = √(p·(p — a)·(p — b)·(p — c)).
  3. Если известны a, b, γ, то площадь треугольника определяется как половина произведения 2-х сторон, умноженная на значение синуса угла между этими сторонами: S=(a·b·sin γ)/2
  4. Если известны a, b, c, R, то искомая площадь определяется как деление произведения длин всех сторон треугольника на четыре радиуса описанной окружности: S=(a·b·c)/4R
  5. Если известны p, r, то искомая площадь треугольника определяется умножением половины периметра на радиус вписанной в него окружности: S=p·r

Площадь квадрата

Обозначения:
  1. Если известна сторона, то площадь данной фигуры определяется как квадрат длины его стороны: S=a 2
  2. Если известна d, то площадь квадрата определяется как половина квадрата длины его диагонали: S=d 2 /2

Площадь прямоугольника

Обозначения:
  • S — определяемая площадь,
  • a, b — длины сторон прямоугольника.
  1. Если известны a, b, то площадь данного прямоугольника определяется произведением длин двух его сторон: S=a·b
  2. Если длины сторон неизвестны, то площадь прямоугольника нужно разбить на треугольники. В этом случае площадь прямоугольника определяется как сумма площадей составляющих его треугольников.

Площадь параллелограмма

Обозначения:
  • S — искомая площадь,
  • a, b — длины сторон,
  • h — длина высоты данного параллелограмма,
  • d1, d2 — длины двух диагоналей,
  • α — угол, находящийся между сторонами,
  • γ — угол, находящийся между диагоналями.
  1. Если известны a, h, то искомая площадь определяется перемножением длин стороны и высоты, опущенной на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, b, α, то площадь параллелограмма определяется перемножением длин сторон параллелограмма и значения синуса угла между этими сторонами: S=a·b·sin α
  3. Если известны d 1 , d 2 , γ то площадь параллелограмма определяется как половина произведения длин диагоналей и значения синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 ·d 2 ·sinγ)/2

Площадь ромба

Обозначения:
  • S — искомая площадь,
  • a — длина стороны,
  • h — длина высоты,
  • α — меньший угол между двумя сторонами,
  • d1, d2 — длины двух диагоналей.
  1. Если известны a, h, то площадь ромба определяется умножением длины стороны на длину высоты, которая опущена на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, α, то площадь ромба определяется перемножением квадрата длины стороны на синус угла между сторонами: S=a 2 ·sin α
  3. Если известны d 1 и d 2 , то искомая площадь определяется как половина произведения длин диагоналей ромба: S=(d 1 ·d 2)/2

Площадь трапеции

Обозначения:
  1. Если известны a, b, c, d, то искомая площадь определяется по формуле: S= (a+b) /2 *√ .
  2. При известных a, b, h, искомая площадь определяется как произведение половины суммы оснований и высоты трапеции: S=(a+b)/2·h

Площадь выпуклого четырехугольника

Обозначения:
  1. Если известны d 1 , d 2 , α, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как половина произведения диагоналей четырехугольника, умноженная на величину синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 · d 2 ·sin α)/2
  2. При известных p, r площадь выпуклого четырехугольника определяется как произведение полупериметра четырехугольника на радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник: S=p·r
  3. Если известны a, b, c, d, θ, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как корень квадратный из произведений разницы полупериметра и длины каждой стороны за минусом произведения длин всех сторон и квадрата косинуса половины суммы двух противоположных углов: S 2 = (p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd·cos 2 ((α+β)/2)

Площадь круга

Обозначения:

Если известен r, то искомая площадь определяется как произведение числа π на радиус в квадрате: S=π r 2

Если известна d, то площадь круга определяется как произведение числа π на квадрат диаметра, поделенное на четыре: S=(π·d 2)/4

Площадь сложной фигуры

Сложную можно разбить на простые геометрические фигуры. Площадь сложной фигуры определяется как сумма или разность составляющих площадей. Рассмотрим, к примеру, кольцо.

Обозначение:
  • S — площадь кольца,
  • R, r — радиусы внешней окружности и внутренней соответственно,
  • D, d — диаметры внешней окружности и внутренней соответственно.

Для того чтобы найти площадь кольца, надо из площади большего круга отнять площадь меньшего круга. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Таким образом, если известны R и r, то площадь кольца определяется как разница квадратов радиусов внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S=π(R 2 -r 2).

Если известны D и d, то площадь кольца определяется как четверть разницы квадратов диаметров внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Площадь закрашенной фигуры

Предположим, что внутри одного квадрата (А) находится другой (Б) (меньшего размера), и нам нужно найти закрашенную полость между фигурами «А» и «Б». Скажем так, «рамку» маленького квадрата. Для этого:

  1. Находим площадь фигуры «А» (вычисляется по формуле нахождения площади квадрата).
  2. Аналогичным образом находим площадь фигуры «Б».
  3. Вычитаем из площади «А» площадь «Б». И таким образом получаем площадь закрашенной фигуры.

Теперь вы знаете, как находить площади разных фигур.

В геометрии площадь фигуры является одной из основных численных характеристик плоского тела. Что такое площадь, как ее определять у различных фигур, а также какие свойства она имеет — все эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.

Что такое площадь: определение

Площадь фигуры — это число единичных квадратов в этой фигуре; неформально выражаясь, это размер фигуры. Чаще всего, площадь фигуры обозначается как «S». Её можно измерить с помощью палетки или прибора планиметр. Также площадь фигуры можно вычислить, зная основные ее размеры. Например, площадь треугольника можно вычислить по трем различным формулам:

Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину, а площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π=3,14.

Свойства площади фигуры

  • площадь равна у равных фигур;
  • площадь всегда неотрицательна;
  • единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной 1 единице длины;
  • если фигура разделена на две части, то общая площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей;
  • фигуры, равные по площади, называются равновеликими;
  • если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не может превосходить площади второй.

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Геометрические фигуры — площадь

площадь

площадь квадрата можно рассчитать как

A = A 2 (1A)

сторона квадрата может быть рассчитана как

A = A = A 1/2 (1b)

Диагональ квадрата может быть рассчитана как

D = A 2 1/2 (1C)

Прямоугольник

область a Прямоугольник может быть рассчитан как

A = AB (2A)

Диагональ прямоугольника может быть рассчитан как

D = (A 2 + B 2 ) 1/2 (2b)

Параллелограмм

Площадь параллелограмма можно рассчитать как

A = ah

(3A)

Диаметры параллелограммы могут быть рассчитаны как

D 1 = ((A + H COT α ) 2 + H 2 ) 1/2 ( 3B)

D 2 = ((A — H COT α ) 2 + H 2 ) 1/2 (3b)

равносторонний треугольник

равносторонний треугольник это треугольник, у которого все три стороны равны.

Область равностороннего треугольника может быть рассчитана как

A = A 2 /3 3 1/2 (4A)

область равностороннего треугольника может быть рассчитана как

H = A / 2 3 1/2 (4b)

треугольник

площадь треугольника может быть рассчитана как

A = AH / 2

= RS (5A)

R = AH / 2S (5b)

R = BC / 2 H (5C)

S = (A + B + C) / 2 (5D)

x = S — A (5e)

y = s — b                         (5f)

z = s — c                                     90 0 90 0 (5g) 0002 Trapezoid

область трапеции может быть рассчитана как

A = 1/2 (A + B) H

= MH (6A)

M = (A + B) / 2 (6b)

Hexagon

Область шестиугольника может быть рассчитана как

A = 3/2 A 2 3 1/2 (7A)

D = 2 а 

  =  2 / 3 1/2 с 

  = 1. 1547005 S (7b)

S = 3 1/2 /2 D

= 0.866025 D (7C)

Круг

Область круга может быть рассчитана как

A = π / 4 D 2

= π R 2

= 0,785

= 0,785 .. D 2 (8A)

C = 2 π R

= π d (8b)

9001

9001

C = окружность

Сектор и сегмент круга

Сектор окружности

Область сектора круга можно выразить как

A = 1/2 θ r r 2                             (9)

900 04 = 1/360 θ D Π R 2

θ R = угол в радианах

θ d = угол в градусах

сегмент круга

Площадь сегмента окружности может быть выражена как

A = 1/2 (θ r — sin θ r ) r 2

= 1 / 180 — SIN θ D ) R 2 (10)

Правый круговой цилиндр

Боковая площадь поверхности правого кругового круга может быть выражена как

A = 2 π RH (11)

где

h = высота цилиндра (м, футы)

r = радиус основания (м, футы) Быть выражены как

A = π RL

= π R (R 2 + H 2 ) 1/2 (12)

, где

ч = высота конус (м, фут)

r = радиус основания (м, фут)

l = наклонная длина (м, фут)

Сфера

Площадь боковой поверхности сферы может быть выражена как 9005

A = 4 π r 2                                   (13)

Формула площади.

Что такое формулы площади для различных геометрических фигур?

Пространство или область, ограниченная замкнутой геометрической фигурой в двумерной плоскости , называется областью.Кроме того, это количество, которое выражает протяженность двумерной фигуры или формы или плоской пластинки на плоскости. Формулы площади используются для расчета пространства, ограниченного различными геометрическими фигурами. Формулы геометрической площади применимы к правильным геометрическим фигурам, имеющим определенные размеры.

Что такое формулы площади?

Различные Формулы площади  используются для вычисления площади различных геометрических фигур. Некоторые из важных геометрических фигур: квадрат, прямоугольник, круг, треугольник, трапеция, эллипс.

Формула площади для треугольника:

Площадь треугольника можно вычислить, найдя половину произведения длины его основания и высоты. Формула площади треугольника дается как,

Площадь треугольника = 1/2 × основание × высота

Формула площади для квадрата:

Площадь квадрата вычисляется путем нахождения квадрата длины каждой стороны квадрата. Формула площади квадрата определяется как

Площадь квадрата = сторона × сторона = сторона 2

Формула площади для круга:

Площадь круга можно вычислить, найдя произведение пи на квадрат радиуса.Формула площади круга задается как

Площадь круга = πr 2

Формула площади для прямоугольника:

Площадь прямоугольника вычисляется путем умножения длины и ширины прямоугольника. Формула площади прямоугольника задается как

Площадь прямоугольника = длина × ширина

Формула площади для параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно рассчитать, умножив основание и высоту параллелограмма.Формула площади параллелограмма определяется как

Площадь параллелограмма = основание × высота

Формула площади для ромба:

Площадь ромба можно вычислить, найдя половину произведения длин его диагоналей. Формула площади четырехугольника определяется как

Площадь ромба = 1/2 × Диагональ\(_1\) × Диагональ\(_2\)

Формула площади для трапеции:

Площадь трапеции равна половине произведения суммы параллельных сторон и высоты. Формула площади трапеции задается как

Площадь трапеции = 1/2 × сумма параллельных сторон (a + b) × высота (h)

Формула площади для эллипса:

Площадь эллипса равна произведению пи на большую и малую оси. Формула площади эллипса задается как

Площадь эллипса  = π × Большая ось (a) × Малая ось (b)

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Давайте изучим формулы геометрической площади для различных фигур, используя приведенные ниже примеры.

Примеры с использованием формулы геометрической площади

Пример 1:  Какова площадь прямоугольного парка, длина и ширина которого равны 60 м и 90 м соответственно?

Решение: 

Найти: Площадь прямоугольного парка.

Дано:

Длина парка = 60 м

Ширина парка = 90м

Использование формулы площади,

Площадь прямоугольника = (Д × В)

= (60 × 90) м 2

= 5400 м 2

Ответ: Площадь прямоугольного парка 5400 м 2 .

Пример 2 : Какова площадь круглого парка радиусом 400 м?

Решение: 

Найти: площадь круглого парка.

Дано:

Радиус кругового парка = 400 м

Использование формулы площади,

Площадь круга = πr 2

Площадь круга = π 400 2

= 160000π м 2

Ответ: Площадь кругового парка 160000π м 2 .

Пример 3: Какова площадь квадрата, каждая сторона которого равна 5 единицам?

Решение: 

Имеем, используя формулу площади для квадрата,

Площадь = 5 × 5 = 25 квадратных единиц

Ответ: Площадь квадрата 25 квадратных единиц.

Часто задаваемые вопросы о формулах площади

Что такое формулы площади?

Формулы площади используются для нахождения площади или области, охватываемой любой двумерной фигурой. Формула площади для нескольких фигур задается как

.
  • Площадь квадрата = (сторона) 2
  • Площадь прямоугольника = длина × ширина
  • Площадь треугольника = (1/2) × основание × высота

Какова формула площади квадрата?

Формула площади для квадрата используется для нахождения площади, покрытой квадратом в 2-D плоскости.Формула площади квадрата задается следующим образом: Площадь квадрата = (сторона) 2 .

Какая формула площади прямоугольника?

Формула площади прямоугольника используется для нахождения площади, покрытой прямоугольником в двумерной плоскости. Формула площади прямоугольника задается как Площадь прямоугольника = длина × ширина.

Каково применение формулы площади?

Формула площади находит применение при расчете общей области, охватываемой фигурой в 2-D плоскости. Различные формулы площади могут использоваться для расчета площади в зависимости от типа и заданных параметров.

Что такое площадь фигуры?

Площадь фигур

Геометрические фигуры — это фигуры, в которых множество точек соединено линиями, образующими замкнутую фигуру.

Например, , треугольник, квадрат, прямоугольник и четырехугольник — это фигуры с 3 и 4 точками, соединенными линиями. Фигуры с ограниченными кривыми не имеют сторон, но имеют окружность.

Зеркала разной формы со сторонами и закруглениями.

 

Зона

Площадь фигуры — это «пространство, ограниченное периметром или границей» данной формы. Мы вычисляем площадь для различных фигур, используя математические формулы.

На следующих рисунках заштрихованная область обозначает область соответствующих фигур.

Имя и форма Свойства  Участок

Круг

  •  Длина между центром «o» и точкой на окружности равна радиусу «r»

 A = πr2

 π = 3. 14 (постоянный)

Треугольник

  •  Один угол прямой
 A = 1 2 × Основание × Высота

Квадрат

  • Все стороны равны
  • Каждый угол равен 90 градусов
 A = длина стороны 2

Ромб

  • Все стороны равны
  • Противоположные стороны параллельны
  • Противоположные углы равны
 A = p × q

Прямоугольник

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Каждый угол равен 90 градусов
 A = длина × ширина

Параллелограмм

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Противоположные углы равны
 A = основание × высота

«Текстурированная» область представляет собой область формы

 

Единица измерения

Единицей измерения площади всегда является квадрат единицы измерения длины. Результирующая единица является произведением единиц данных длин.

Возьмем, к примеру, площадь квадрата со стороной 8 см:

Площадь = (длина стороны) 2

Площадь = 8 см × 8 см

Площадь = 64 см 2

 

Заявка

Формула площади применяется в архитектуре, геодезии и картографии. Масштабированная версия области для данного места полезна при разработке инструментов знаний, таких как глобусы и геофизические карты.Вычисление площади для двумерной формы — это первый шаг к интерпретации объема трехмерного объекта, такого как конус, цилиндр, шар и куб.

Интересные факты

  • Вавилонские глиняные таблички с писцами использовались для изучения математики и интерпретации понятия площади с помощью формулы в 1800–1600 гг. до н. э.

  • Египтяне построили великие пирамиды, используя свойства, основанные на площади, и соотношение между площадью поверхности сторон и площадью основания для идеально сбалансированной конструкции

 

Математическая лексика

 

Периметр, площадь и объем

1. То периметр из многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например круг) — это расстояние вокруг внешней стороны.

2. площадь из простая, замкнутая, плоская кривая — это объем пространства внутри.

3. объем из твердый 3 Д форма — это количество пространства, вытесненного ею.

Некоторые формулы для общих 2 -мерные плоские фигуры и 3 -мерные тела приведены ниже.Ответов один, два, или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , площадь измеряется в квадратные единицы , а также объем измеряется в кубические единицы .

Стол 1 . Формулы периметра

Форма

Формула

Переменные

Квадратный

п знак равно 4 с

с это длина стороны квадрата.

Прямоугольник

п знак равно 2 л + 2 Вт

л а также Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

а + б + с

а , б , а также с являются длинами сторон.

п знак равно а + б + а 2 + б 2

а а также б это длины двух катетов треугольника

Круг

р это радиус и г это диаметр.

Таблица 2. Формулы площади

Форма

Формула

Переменные

Квадратный

с это длина стороны квадрата.

Прямоугольник

л а также Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

Треугольник

А знак равно 1 2 б час

б а также час это основание и высота

Треугольник

А знак равно с ( с − а ) ( с − б ) ( с − с ) куда с знак равно а + б + с 2

а , б , а также с это длины сторон и с это полупериметр

Параллелограмм

б это длина основания и час это высота.

Трапеция

А знак равно б 1 + б 2 2 час

б 1 а также б 2 — длины параллельных сторон и час расстояние (высота) между параллелями.

Круг

А знак равно π р 2

р это радиус.

Таблица 3. Формулы объема

Форма

Формула

Переменные

куб

с это длина стороны.

Правая прямоугольная призма

л это длина, Вт это ширина и ЧАС это высота.

Призма или цилиндр

А площадь основания, час это высота.

Пирамида или конус

А площадь основания, час это высота.

Сфера

р это радиус.

задач и примеров по геометрии площадей | Как найти площадь в математике — видео и расшифровка урока

Как найти площадь в геометрии

Иногда нам нужно решить сложные задачи с площадью, например вычислить площадь фигуры, которая не вписывается ни в одну из категорий фигур, для которых у нас есть формулы.

Мы можем сделать это, разбив область на известные формы.

Давайте рассмотрим пример.

Папа Питера хочет убрать немного травы в саду, чтобы сделать клумбу.

Он нарисовал схему того, какой должна быть клумба:

Схема клумбы

Какой будет площадь клумбы?

Чтобы решить эту проблему, мы должны разбить изображение на более мелкие части, которые мы можем распознать как геометрические фигуры.

Это будет выглядеть так:

План клумбы, разбитой на геометрические фигуры.

Есть три геометрические фигуры:

  1. Полукруг
  2. Квадрат
  3. Треугольник

Чтобы найти площадь полукруга,

Вычислите площадь полного круга радиусом 1 м и разделите ее на 2:

{eq}Area=\frac{1}{2}\ pi r^2\\ =\frac{1}{2}\pi(1^2)\\ =\frac{1}{2}\pi\\ =1. 2{/eq}

Задачи площади

Знание того, как вычислить площадь поверхности, является важным навыком, и существует множество примеров практического использования вычисления площади. Ниже приведены некоторые реальные математические задачи найти площадь .

Пример 1

Дед Джанет хочет уложить один метр плитки вокруг своего бассейна.

Бассейн 5мх3м.

Ему нужно вычислить общую площадь плитки, чтобы купить нужное количество плитки.2 {/eq}

Пример 2

После поездки в Африку Сьюзен хочет создать мозаику с изображением жирафа, чтобы повесить ее на стену.

Ей нужно определить общую площадь, которую нужно выложить, чтобы узнать, сколько мозаичных плиток нужно купить.

Жираф

Жирафа можно разбить на следующие геометрические фигуры:

Жираф в геометрических частях

X: прямоугольник

Площадь = длина x ширина. 2 {/eq} в зависимости от единиц измерения, с которыми мы работаем.

Площадь квадрата :

{eq}Area=lw {/eq}

, где l — длина, а w — ширина.

У квадрата длина и ширина точно такие же.

Площадь прямоугольника :

{eq}Area=lw {/eq}

, где l — длина, а w — ширина.

Площадь треугольника :

{eq}Area=\frac{1}{2}bh {/eq}

, где b — основание, а h — высота.2 {/eq}

, где {eq}\pi {/eq} — математическая константа 3,14159, а r — радиус.

Радиус равен половине диаметра окружности.

Площадь параллелограмма :

{eq}Площадь = bh {/eq}

, где b — основание, а h — высота.

Площадь трапеции :

{eq}Area=\frac{1}{2}(a+b)h {/eq}

, где a и b – два основания, а h – высота.

Иногда нам нужно решить сложные задачи с площадями, например вычислить площадь фигуры, которая не вписывается ни в одну из категорий фигур, для которых у нас есть формулы.

Мы делаем это, разбивая область на известные формы.

Формулы площади поверхности

Формулы площади поверхности
(Математика | Геометрия | Формулы площади поверхности)

( пи = = 3.141592…)

Поверхность Формулы площади
Обычно площадь поверхности представляет собой сумму все площади всех фигур, которые покрывают поверхность объекта.

Куб | Прямоугольный призма | призма | Сфера | Цилиндр | Единицы

Примечание: «аб» означает «а» умножить на «б». «а

2 » означает «а в квадрате», что равно «а», умноженному на «а».

Будьте осторожны!! Считаются единицы. Используйте одни и те же единицы измерения для всех измерений.

Примеры

Площадь поверхности куба = 6 а 2

(а — длина стороны каждое ребро куба)

Другими словами, площадь поверхности куба — это площадь шести квадратов, которые накрой это.Площадь одного из них равна a*a, или a 2 . Поскольку эти одинаковы, вы можете умножить одно из них на шесть, так что поверхность площадь куба в 6 раз больше одной из сторон в квадрате.

 

Площадь поверхности прямоугольника Призма = 2ab + 2bc + 2ac

(a, b, c — длины трех сторон)

Другими словами, площадь поверхности прямоугольной призмы равна площади шести прямоугольники, которые его закрывают. Но нам не нужно вычислять все шесть, потому что мы знаем, что верх и низ одинаковы, перед и зад равны одинаковые, а левая и правая стороны одинаковые.

Площадь верха и низа (длины сторон а и в) = а*с. Так как их два, то получается 2ac. Спереди и сзади имеют длины сторон b и c. Площадь одного из них равна b*c, и там их два, поэтому площадь поверхности этих двух равна 2bc. Левый и правая сторона имеет длины сторон a и b, поэтому площадь поверхности одной из они а*б.Опять же, их два, поэтому их общая площадь поверхности это 2аб.

Площадь поверхности любой призмы

 (b — форма из концов)

Площадь поверхности = боковая площадь + площадь двух концов

(Боковая площадь) = (периметр формы b ) * L

Площадь поверхности = (периметр формы b ) * L+ 2 * (площадь формы b )

Площадь поверхности сферы = 4 пи г 2

(r — радиус окружности)

Площадь поверхности цилиндра = 2 пи r 2 + 2 пи r ч

(h высота цилиндр, r — радиус вершины)

Площадь поверхности = площади сверху и снизу + площадь сбоку

Площадь поверхности = 2 (площадь верха) + (периметр верха) * высота

Площадь поверхности = 2( pi r 2 ) + (2 pi r)*h

На словах проще всего представить себе банку. Площадь поверхности – это площади всех частей, необходимых для покрытия банки. Это верх, низ, и бумажная этикетка, которая оборачивается вокруг середины.

Можно найти площадь верха (или низа). Это формула для площади круга ( пи r 2 ). Так как есть и вершина, и дно, которое умножается на два.

Сторона похожа на этикетку банки. Если вы очистите его и положите плоский это будет прямоугольник.Площадь прямоугольника есть произведение две стороны. С одной стороны высота банки, с другой периметру круга, так как этикетка один раз оборачивается вокруг банки. Так площадь прямоугольника равна (2 pi r)*h.

Сложите эти две части вместе, и вы получите формулу поверхности. площадь цилиндра.

Площадь поверхности = 2( pi r 2 ) + (2 pi r)*h


Совет! Не забывайте про единицы.

Эти уравнения дадут вам правильные ответы, если вы будете правильно расставлять единицы измерения. Например, чтобы найти площадь поверхности куба со стороной 5 дюймов, уравнение:

Площадь поверхности = 6*(5 дюймов) 2

= 6*(25 квадратных дюймов)

= 150 кв. дюймов

Площадь геометрических фигур — введение, типы, формулы, примеры и часто задаваемые вопросы

Площадь фигур

Площадь фигур – это пространство, окруженное или ограниченное границей периметра данных геометрических фигур.Это измерение, которое определяет величину двумерной формы или плоской пластинки в плоскости. Форма пластинки включает в себя двумерные фигуры, которые можно легко нарисовать на плоскости, такие как квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция и т. д. Площади таких форм, как квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция, круг составляют диапазон покрытые ими в пространстве. В этой статье вы изучите площади геометрических фигур, формулы площадей для различных фигур, площадь двухмерных фигур, площадь трехмерных фигур и т. д.

Многоугольники

Многоугольник — это двумерная фигура, состоящая из прямых линий. Некоторыми примерами многоугольников являются треугольник, пятиугольник, шестиугольник, квадрат, прямоугольник и т. д. Само название этих фигур определяет общее количество сторон, включенных в форму. Например, у треугольника 3 стороны, а у прямоугольника 4 стороны. Таким образом, любая фигура, состоящая из соединения трех линий, называется треугольником, тогда как фигуры, состоящие из соединения четырех линий, называются четырехугольником.Область — это диапазон внутри границы/периметра, который необходимо исследовать.

Площадь двумерных фигур

В геометрии двумерные фигуры определяются как плоские фигуры или формы, которые включают две меры, такие как длина и ширина. В двумерных формах нет толщины. Площадь и периметр — две разные меры, используемые для измерения плоских фигур. Двухмерное можно легко нарисовать на обычной бумаге. Некоторыми примерами двумерных фигур являются прямоугольник, треугольник, квадрат, трапеция и т. д.

Площадь 2d форм Formula-

Обычно площадь фигур определяется как количество цвета краски, необходимое для покрытия любой поверхности одним слоем. Вот методы расчета площади на основе сторон, включенных в форму, как описано ниже:

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Здесь вы можете увидеть формулы площади для различных фигур в табличном формате.

2

906 35

Фигуры

Площадь

Условия

Circle

π × r²

R обозначает радиус окружности

треугольник

½ × B × H

B указывает на ширину, тогда как H указывает высоту

3

L × W

L указывает длину, тогда как W указанная ширина

Параллелограмма

B × H

9

B указывает на ширину H То, что указывает высоту

Trapezium

7 ½ (A + B) × H

+b) — длина параллельных сторон, а h — высота трапеции

здесь,

a = ½ Minor Axis

B = 1/2 MINAL AXIS

Площадь 3D-форм

Трехмерные формы твердые формы, которые сохраняют три измерения, такие как длина, ширина и высота. Для определения трехмерных форм используются две разные меры: объем и площадь поверхности. Как правило, мы получаем трехмерные фигуры путем вращения двухмерных фигур. Основное различие между 2-мерными и 3-мерными формами заключается в том, что 3-мерные фигуры имеют толщину, тогда как 2-мерные формы не имеют толщины. Если вы хотите определить площадь поверхности любых твердых фигур, то ее можно легко определить по площади 2 d фигур.

Площадь трехмерных фигур Formula-

В соответствии с международной системой единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр (м²).Например, некая фигура площадью 4 квадратных метра будет иметь такие же площади, как и четыре таких квадрата. Площадь поверхности твердых форм определяется как мера общей площади, которую покрывает поверхность объекта.

Здесь вы можете увидеть формулы площади для всех фигур в табличном формате.

2

906 23

3Πr²

Формы

Формула

91 597 Условия

Куб

91 597 6a²

91 597 ‘а’ = длина ребра

Прямоугольная призма

2 (WL + HL + HW)

1 = длина, w = ширина, h = высота

цилиндр

2π R (H + R)

R = радиус, если круговая база

H = высота цилиндра

CONE

R = радиус, если круговая база

л = Sклона высота

Sphere

4πR²

7 R = радиус сферы

полусфера

r= радиус полушария

Включая площадь плоских фигур, дополнительную переменную i. e высота переменной учитывается при вычислении площади поверхности фигур.

Исследуйте круг радиусом r и нарисуйте бесконечные концентрические круги. Теперь от центра круга к его границе нарисуйте отрезок, равный радиусу круга, вместе с этим отрезком. Будет сформирован треугольник с основанием, эквивалентным длине окружности, и высотой, эквивалентной радиусу внешней окружности, т.е. r. Таким образом, площадь можно рассчитать как ½ × основание × высота, т. е.½ * 2πr².

Решенные примеры-

1. Вычислите площадь кругового пути, радиус которого равен 7 см.

Решение: 

Радиус окружности = 7 см (дано)

Как мы знаем, площадь круга равна πr²

Соответственно,

 Площадь = π × r × r

Площадь = 22/7 × 7 × 7

Площадь = 154 квадратных метра

2. Какова будет ширина прямоугольника, если его площадь 72 см, а длина 8 см.

Решение:

Как теперь,

Площадь прямоугольника = длина × ширина

Учитывая, что площадь = 72 см и длина = 8 см

Пусть ширина прямоугольника будет

Площадь прямоугольника = длина × ширина

Соответственно,

A = l × b

72 = 8 × a

72= 8a

a = 72/9

a =

a= 90,8 см 91 ширина прямоугольника 8 см.

3. Вычислите площадь конуса, радиус которого равен 4 см, а высота s 3 см’

Решение:

Радиус конуса = 4 см и высота конуса = 3 см (Гвен)

Как мы теперь знаем, площадь конуса πr(r + l)

Наклонная высота = l \[\sqrt{4²+3²}\] =   \[\sqrt{25}\] = 5 см

Площадь конуса = πr(r + l)

A = 22/7 × 4 (4 + 5)

A = 22/7 × 4(9)

A = 22/7 × 36

A = 113,14 см²

Quiz Time

1

7 1

7 . Отношение соответствующих сторон двух эквивалентных параллелограммов равно 1 : k. каково будет отношение их площадей.

    1. 1: 3²

    2. 1: 4²

    3. 1: K²

    4. 1: 2k²

    2. Как будет площадь поверхности сферы изменения, если диаметр сфер удваивается?

    1. Увеличится в два раза

    2. Увеличится в три раза

    3. Увеличится в четыре раза

    4. Увеличится в восемь раз 3 9597

      Какова будет площадь прямоугольника, высота которого равна 2\[\sqrt{3}\]см

      1. \[\sqrt{3}\]см²

      2.  2\[\sqrt{3} \]см²

      3. 3\[\sqrt{3}\]см

      4. 4\[\sqrt{3}\]см²

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.