Высота треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Высота, проведенная в любом треугольнике, делит его на два прямоугольных треугольника, становясь смежным катетом. Сторона, на которую опущена высота, оказывается также разделенной на две пропорциональных части. Зная все три стороны, можно собрать их по теореме Пифагора, и приравняв высоту в качестве катета в двух вышеуказанных треугольниках, получить ее формулу для любого произвольного треугольника:
С другой стороны, можно использовать сторону, прилежащую к высоте и угол α, чтобы вычислить высоту треугольника.
Известная его сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а сама высота – катетом, противолежащим углу α. Два этих измерения связывает синус угла, поэтому высота равна его произведению на сторону a: h=a sinα
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла (остальные две совпадают с катетами), получает особые свойства. Так как все три получившихся прямоугольных треугольника подобны друг другу, их стороны составляют пропорцию, которая раскладывается как квадрат высоты, равный произведению проекцию катетов на гипотенузу, или проще говоря, частей гипотенузы, на которые ее делит высота.
Из этого следует, что высота равна квадратному корню из данного произведения, а это есть не что иное как среднее пропорциональное приведенного выражения.
В равностороннем треугольнике, высота делит угол, из которого она исходит, на два одинаковых угла по 30°. Высота, оказываясь катетом, прилежащим к этому углу, внутри прямоугольного треугольника, подчиняется отношению косинуса угла α, а так как , а гипотенуза a, то формула высоты в равностороннем треугольнике будет выглядеть так:
geleot.ru
Высота треугольника | Онлайн калькулятор
В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.
Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.
Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.
Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.
С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.
Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.
Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.
Формула высоты произвольного треугольника через площадь
allcalc.ru
Высота и угол «α» равнобедренного треугольника
Высота равнобедренного треугольника, которая лежит под прямым углом к основанию, создает внутри еще два одинаковых прямоугольных треугольника, являясь катетом в каждом из них. Второй катет такого треугольника представляет собой половину основания, так как эта высота является одновременно медианой и биссектрисой, а гипотенузой будет боковая сторона равнобедренного треугольника. Соответственно, зная высоту и угол α при основании, через прямоугольный треугольник можно узнать стороны равнобедренного треугольника. (рис.88.2) a=h/sinα b=2h/tanα
Поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, следовательно, угол при вершине будет равен разности 180 градусов и двух углов при основании. β=180°-2α
Периметр равнобедренного треугольника через высоту и угол α равен сумме двух отношений высоты к синусу угла и двух отношений высоты к тангенсу. Площадь, в свою очередь, преобразовывается в квадрат высоты, деленный на тангенс. P=2a+b=2h/sinα +2h/tanα S=hb/2=h^2/tanα
Чтобы найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника (любую, так как они одинаковы), можно воспользоваться готовой формулой через стороны треугольника, заменив их на тригонометрические отношения и упростив выражение. Аналогично вычисляются медианы и биссектрисы через высоту. m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√((h/sinα )^2+2(2h/tanα )^2 )/2=(h√(1/cosα +8))/(2 tanα ) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(b√((4(h/sinα )^2-(2h/tanα )^2)))/(2 h/sinα )=b sin^2α l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2h/tanα √(h/sinα (2 h/sinα +2h/tanα )))/(h/sinα +2h/tanα )=(2h√(2+2/cosα ))/(tanα+2 sinα )
Чтобы вычислить среднюю линию, необходимо разделить на два ту сторону треугольника, которая ей параллельна. Поскольку ни одна из сторон не известна, то средняя линия, параллельная основанию, равна высоте, деленной на тангенс угла α, а средняя линия, параллельная боковой стороне равна высоте, деленной на два синуса угла α. (рис.88.5) M_b=b/2=h/tanα M_a=a/2=h/(2 sinα )
Чтобы вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, нужно подставить вместо сторон a и b в формулу отношения высоты и тангенса или синуса соответственно, а затем упростить выражение (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=h/tanα √((h/sinα -2 2h/tanα )/(h/sinα +2 2h/tanα ))=h/tanα √((1-4 cosα)/(1+4 cosα ))
Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника также зависит от обеих сторон – основания и боковой стороны, поэтому его формула видоизменяется аналогично радиусу вписанной окружности. (рис.88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )=(h/sinα )^2/√(4(h/sinα )^2-(2h/tanα )^2 )=h/(2 sin^2α )
geleot.ru
Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор
Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.
Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.
Рассмотрим каждый случай по отдельности.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.
Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:
Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.
Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.
Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:
Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне
Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.
Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sinα
Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:
Формула через основание и угол при нем α:
через основание и угол противолежащий ему β:
allcalc.ru
Высота и сторона «A» равнобедренного треугольника
Так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является одновременно и биссектрисой и медианой, следовательно, она делит основание и угол при вершине на две равные части, образуя прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Из теоремы Пифагора в таком треугольнике можно найти само основание, а затем рассчитать все остальные возможные данные. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2 )/2
Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, надо к двум боковым сторонам прибавить основание или приведенный выше радикал через высоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2 )/2
Площадь равнобедренного треугольника через высоту и основание по определению вычисляется как половина их произведения. Заменив основание на соответствующее ему выражение, получаем площадь через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2 ))/4
В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, а так как в сумме они дают всегда 180 градусов, то любой из углов можно найти, зная другой. Первый угол вычисляется по теореме косинусов, приведенной для равных боковых сторон, а второй можно найти через разность от 180. (рис.88.1) cosα=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cosβ=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 ) α=(180°-β)/2 β=180°-2α
Центральные медиана и биссектриса, опущенные на основание совпадают с высотой, а боковые медианы, высоты и биссектрисы можно найти по следующим формулам для равнобедренных треугольников. Чтобы вычислить их через высоту и боковую сторону, нужно заменить основание на эквивалентное ему выражение. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2
Высота, опущенная на боковую сторону, через высоту, опущенную на основание и боковую сторону равнобедренного треугольника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2 ) √((4a^2-a^2+h^2)))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2
Биссектрисы, направленные в боковые стороны, также могут быть выражены через боковую сторону и центральную высоту треугольника . (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^2 )) )/(a+√(a^2-h^2 ))
Средняя линия проводится параллельно любой стороне треугольника, соединяя середины боковых в ее отношении сторон. Таким образом, она всегда оказывается равна половине параллельной ей стороны. Вместо неизвестного основания в формулу можно подставить используемый радикал, чтобы найти среднюю линию через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника(рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2 )/2 M_a=a/2
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, начинается от точки на пересечении биссектрис и уходит перпендикулярно в любую из сторон. Чтобы его найти через высоту и боковую сторону треугольника, надо заменить основание в формуле на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2 )))/(2a+√(a^2-h^2 )))
Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы путем подстановки радикала через высоту и боковую сторону вместо основания. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2 )
geleot.ru
высота треугольника калькулятор онлайн
Вы искали высота треугольника калькулятор онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и высота треугольника онлайн калькулятор, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «высота треугольника калькулятор онлайн».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как высота треугольника калькулятор онлайн,высота треугольника онлайн калькулятор,длина высоты треугольника,как найти длину высоты,как найти длину высоты треугольника,калькулятор высота треугольника онлайн,онлайн калькулятор высота треугольника,онлайн калькулятор треугольника,расчет высоты треугольника онлайн калькулятор,треугольник онлайн калькулятор,формула высоты треугольника через стороны. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и высота треугольника калькулятор онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, длина высоты треугольника).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же высота треугольника калькулятор онлайн Онлайн?
Решить задачу высота треугольника калькулятор онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
www.pocketteacher.ru
Расчет высоты треугольника
Данный калькулятор может посчитать высоту треугольника по заданным трем сторонам треугольника.
Все очень просто, вводите стороны треугольника a, b, c. Дальше калькулятор с помощью встроенной формулы высчитывает высоту треугольника, опущенную с вершины на сторону треугольника c. Высота треугольника перпендикулярна стороне c.
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
hostciti.net